Lösung u. Konvergenz Gleichung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Do 30.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | a) Begründen Sie, dass die Gleichung
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] 5*x^{2}=1 (\*)
[/mm]
mindesten eine Lösung [mm] x_{\*} \in [/mm] (0,1) besitzt.
b) Finden Sie je einen Startwert [mm] x_{\*} \in [/mm] [0,1], für das Verfahren
[mm] x_{n+1}=5*(x_{n})^{2}-1+x_{n}+(x_{n})^{3} [/mm] n [mm] \in \IN \cup [/mm] {0},
konvergiert bzw divergiert und begründen Sie Ihre Aussage.
c) Zeigen Sie, dass das Verfahren
[mm] x{n+1}=\wurzel{\bruch{1}{5+x_{n}}} [/mm] + a n [mm] \in \IN \cup [/mm] {0} [mm] (\*\*)
[/mm]
für höchsten ein a [mm] \in \IR [/mm] gegen [mm] x_{\*} [/mm] aus Teil a) konvergieren kann.
d) Weisen Sie nach, dass das Verfahren [mm] (\*\*) [/mm] mit a=0 für jeden Startwert [mm] x_{\*} \in [/mm] [0,1] gegen [mm] x_{\*} [/mm] aus [mm] (\*) [/mm] konvergiert.
e) Gebe Sie die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens für [mm] (\*) [/mm] an und führen Sie den ersten Schritt zum Startwert [mm] x_{\*}=1 [/mm] aus. |
Hallo ihr Lieben,
hierbei handelt es sich um eine Klausuraufgabe aus Numerik 1.
Ich komme eigentlich sehr gut mit Numerik klar ( habe eigenständig(!) 90% der Übungszettel erreicht), aber diese Aufgabe raubt mir den Nerv.
als erstes möchte ich auf Aufgabenteil a) zurück kommen.
so ich sitze hier und komm nicht weiter. ich habe es auf jede erdenkliche weise probiert und weiß einfach nicht wie ich das zeigen soll.
Ich habe es auf viele Weisen umgestellt aber die sinnvollste scheint mir die folgende zu sein
[mm] x=\pm\wurzel{\bruch{1}{x+5}}
[/mm]
Nur wie Soll ich dann weiter vorgehen? Wie kann ich zeigen dass die Lösung [mm] x_{\*} [/mm] zwischen 0 und 1 liegt? abschätzen? Die lösung liegt ja "grob" zwischen 0,4 und 0,5
ich bin euch sehr dankbar für eure Hilfe und wünsche euch allen weiterhin einen schönen Abend.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 30.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo, mein Tipp: Zwischenwertsatz!
Gute Nacht 
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Do 30.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Da hab ich vorhin auch schon dran gedacht aber wieder verworfen.
ZWS: " Es sei [a,b] ein Intervall mit a < b und [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] stetig. Ist f(a) < 0 und f(b)>0, so existiert ein [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) mit [mm] f(x_{0}=0"
[/mm]
aber es ist ja nicht stetig durch [mm] x=\pm\wurzel{...} [/mm] auf [0,1] wär doch nur bei [mm] |x|=|\pm\wurzel{...}| [/mm] stetig oder?
okay edit:
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] 5*x^{2}=1 [/mm]
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] 5*x^{2}-1=0 [/mm] stetig
[mm] x^{3} [/mm] + [mm] 5*x^{2} [/mm] -1 =f(x)
dann ist f(0)=-1<0 und f(1)=5>0 => mit ZWS es ex min ein [mm] x_{\*} [/mm] in (0,1) für das [mm] f(x_{\*})=0
[/mm]
so müsste es gehen :D man sollte sich manchmal einfach wieder auf den anfangen besinnen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 30.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo,
ja so ist es. nur bei f(x) fehlt das -1 in der letzten Zeile
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Do 30.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
zur b) das müsste doch per anziehender/abstoßender Fixpunkt gehen oder? also |f'(x)| <1 konvergenz für alle startwerte in dem Intervall falls |f'(x)| >1 divergent oder; wobei ich glaube es ist besser nach |f'(x)| >1 zu gehen,wegen schnellem wachstum durch die exponenten und [mm] x_{0} [/mm] aus [0,1]
[mm] f(x)=x_{n+1}=5*(x_{n})^{2}-1 +x_{n}+(x_{n})^{3}
[/mm]
[mm] f'(x)=10x_{n}+3x_{n}^{2}+1=3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3} [/mm]
[mm] |f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow [/mm] konvergenz für keinne Startwert [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1]
Ist das so in ordnung?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zur b) das müsste doch per anziehender/abstoßender
> Fixpunkt gehen oder? also |f'(x)| <1 konvergenz für alle
> startwerte in dem Intervall falls |f'(x)| >1 divergent
> oder; wobei ich glaube es ist besser nach |f'(x)| >1 zu
> gehen,wegen schnellem wachstum durch die exponenten und
> [mm]x_{0}[/mm] aus [0,1]
>
> [mm]f(x)=x_{n+1}=5*(x_{n})^{2}-1*x_{n}+(x_{n})^{3}[/mm]
>
> [mm] f'(x)=10x_{n}+3x_{n}^{2}+1
[/mm]
Hallo, hier ist der Fehler, denn es gilt:
[mm] (-x_{n})'=-1
[/mm]
DieAcht
>
>
>
> [mm]|f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow[/mm] konvergenz für
> keinne Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1]
>
>
> Ist das so in ordnung?
>
> Danke für eure Hilfe
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Fr 31.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Danke! sorry hab mich da vertippt. Dort muss [mm] -1+x_{n} [/mm] stehen! Verbesssere ich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zur b) das müsste doch per anziehender/abstoßender
> Fixpunkt gehen oder? also |f'(x)| <1 konvergenz für alle
> startwerte in dem Intervall falls |f'(x)| >1 divergent
> oder; wobei ich glaube es ist besser nach |f'(x)| >1 zu
> gehen,wegen schnellem wachstum durch die exponenten und
> [mm]x_{0}[/mm] aus [0,1]
>
> [mm]f(x)=x_{n+1}=5*(x_{n})^{2}-1 +x_{n}+(x_{n})^{3}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=10x_{n}+3x_{n}^{2}+1=3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}[/mm]
>
>
>
> [mm]|f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow[/mm] konvergenz für
> keinne Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1]
>
>
> Ist das so in ordnung?
>
Bei dir gilt:
[mm] $|f'(x)|\ge [/mm] 1$
Ist das in Ordnung ? 
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 31.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> > zur b) das müsste doch per
> anziehender/abstoßender
> > Fixpunkt gehen oder? also |f'(x)| <1 konvergenz für alle
> > startwerte in dem Intervall falls |f'(x)| >1 divergent
> > oder; wobei ich glaube es ist besser nach |f'(x)| >1 zu
> > gehen,wegen schnellem wachstum durch die exponenten und
> > [mm]x_{0}[/mm] aus [0,1]
> >
> > [mm]f(x)=x_{n+1}=5*(x_{n})^{2}-1 +x_{n}+(x_{n})^{3}[/mm]
> >
> >
> [mm]f'(x)=10x_{n}+3x_{n}^{2}+1=3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]|f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1[/mm]
> > [mm]\Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow[/mm] konvergenz für
> > keinne Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1]
> >
> >
> > Ist das so in ordnung?
> >
> Bei dir gilt:
>
> [mm]|f'(x)|\ge 1[/mm]
>
> Ist das in Ordnung ?
>
> DieAcht
Nein, denn für |f'(x)|=1 kann ich keine Aussage treffen.
Was bedeutet das nun für mich?
War es eine gute idee über anziehender bzw abstoßender FP zu gehen? GIbt es eine bessere Möglichkeit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> War es eine gute idee über anziehender bzw abstoßender FP zu gehen?
Du hast von Anfang an an deiner Idee festgehalten,
hast gerechnet, abgeschätzt und argumentiert,
aber dabei hast du die Aufgabenstellung aus den Augen verloren.
Ein Fixpunkt [mm] $\tilde{x}$ [/mm] heißt anziehend, falls [mm] |f'(\tilde{x})|<1 [/mm] bzw. abstoßend, falls [mm] |f'(\tilde{x})|>1 [/mm] gilt.
Was du hier probierst zu tun ist die gesamte anziehende bzw. abstoßende Fixpunktmenge [mm] F_{\text{anziehend}} [/mm] bzw. [mm] F_{\text{abstoßend}} [/mm] zu errechnen.
Das kannst du gerne ausrechnen, aber darum geht es hier nicht.
Du sollst Fixpunkte [mm] x_1\in[0,1], [/mm] als auch [mm] x_2\in[0,1] [/mm] angeben, sodass das Verfahren für [mm] x_1 [/mm] konvergiert sowie für [mm] x_2 [/mm] divergiert.
Es gilt um folgendes Verfahren:
[mm] f(x_n)=x_n^3+5x_n^2+x_n-1
[/mm]
Es gilt:
[mm] f'(x_n)=3x_n^2+10x_n+1
[/mm]
Betrachte nun folgendes:
[mm] |f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|<1
[/mm]
[mm] |f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|>1
[/mm]
Mach dir wieder bewusst, dass es nur um Startwerte [mm] x_{0_{1}},x_{0_{2}}\in[0,1] [/mm] geht.
Jetzt kannst du entweder ausprobieren oder dir
strategisch überlegen wo sie genauer liegen müssten!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 01.02.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo,
>
>
> > War es eine gute idee über anziehender bzw abstoßender FP
> zu gehen?
>
> Du hast von Anfang an an deiner Idee festgehalten,
> hast gerechnet, abgeschätzt und argumentiert,
> aber dabei hast du die Aufgabenstellung aus den Augen
> verloren.
>
> Ein Fixpunkt [mm]\tilde{x}[/mm] heißt anziehend, falls
> [mm]|f'(\tilde{x})|<1[/mm] bzw. abstoßend, falls [mm]|f'(\tilde{x})|>1[/mm]
> gilt.
>
> Was du hier probierst zu tun ist die gesamte anziehende
> bzw. abstoßende Fixpunktmenge [mm]F_{\text{anziehend}}[/mm] bzw.
> [mm]F_{\text{abstoßend}}[/mm] zu errechnen.
>
> Das kannst du gerne ausrechnen, aber darum geht es hier
> nicht.
>
Ich dachte, dass ich vielleicht darüber zeigen kann, dass es für kein [mm] x_{\*} [/mm] aus [0,1] konvergiert.
> Du sollst Fixpunkte [mm]x_1\in[0,1],[/mm] als auch [mm]x_2\in[0,1][/mm]
> angeben, sodass das Verfahren für [mm]x_1[/mm] konvergiert sowie
> für [mm]x_2[/mm] divergiert.
> Es gilt um folgendes Verfahren:
>
> [mm]f(x_n)=x_n^3+5x_n^2+x_n-1[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]f'(x_n)=3x_n^2+10x_n+1[/mm]
>
> Betrachte nun folgendes:
>
> [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|<1[/mm]
>
> [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|>1[/mm]
>
> Mach dir wieder bewusst, dass es nur um Startwerte
> [mm]x_{0_{1}},x_{0_{2}}\in[0,1][/mm] geht.
Das benutze ich ja auch in der Abschätzung.
>
> Jetzt kannst du entweder ausprobieren oder dir
> strategisch überlegen wo sie genauer liegen müssten!
>
>
> Gruß
> DieAcht
[mm] |f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1| \le 3\underbrace{|x_n^2|}_{\le 1 für x \in [0,1]} [/mm] + 10 [mm] \underbrace{|x_n|}_{\le 1 für x \in [0,1]} [/mm] + 1 [mm] \le [/mm] 3+10+1 =14 > 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |f'(x)| [mm] \le [/mm] 14
ABER das bringt mir ja gar nichts??????????????
Okay, jetzt versteh ich irgendwie gar nichts mehr.
Ausprobiert habe ich schon einiges aber wirklich was finden klappt irgendwie nicht. Wie kann man da strategisch dran gehen? Gibt es dabei (für die "meisten" Fällel) einen Trick?
Danke, dass du dir so viel Mühe gibst mir zu helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 01.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> >
> > > War es eine gute idee über anziehender bzw abstoßender FP
> > zu gehen?
> >
> > Du hast von Anfang an an deiner Idee festgehalten,
> > hast gerechnet, abgeschätzt und argumentiert,
> > aber dabei hast du die Aufgabenstellung aus den Augen
> > verloren.
> >
> > Ein Fixpunkt [mm]\tilde{x}[/mm] heißt anziehend, falls
> > [mm]|f'(\tilde{x})|<1[/mm] bzw. abstoßend, falls [mm]|f'(\tilde{x})|>1[/mm]
> > gilt.
> >
> > Was du hier probierst zu tun ist die gesamte anziehende
> > bzw. abstoßende Fixpunktmenge [mm]F_{\text{anziehend}}[/mm] bzw.
> > [mm]F_{\text{abstoßend}}[/mm] zu errechnen.
> >
> > Das kannst du gerne ausrechnen, aber darum geht es hier
> > nicht.
> >
> Ich dachte, dass ich vielleicht darüber zeigen kann, dass
> es für kein [mm]x_{\*}[/mm] aus [0,1] konvergiert.
Das wäre ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.
Wenn du ein bestimmtes Intervall betrachten willst,
dann empfehle ich dir die Voraussetzung des
Banachschen Fixpunktsatzes zu überprüfen.
Damit kommst du aber hier nicht weiter, siehe Aufgabenstellung.
> > Du sollst Fixpunkte [mm]x_1\in[0,1],[/mm] als auch [mm]x_2\in[0,1][/mm]
> > angeben, sodass das Verfahren für [mm]x_1[/mm] konvergiert sowie
> > für [mm]x_2[/mm] divergiert.
>
> > Es gilt um folgendes Verfahren:
> >
> > [mm]f(x_n)=x_n^3+5x_n^2+x_n-1[/mm]
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]f'(x_n)=3x_n^2+10x_n+1[/mm]
> >
> > Betrachte nun folgendes:
> >
> > [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|<1[/mm]
> >
> > [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|>1[/mm]
> >
> > Mach dir wieder bewusst, dass es nur um Startwerte
> > [mm]x_{0_{1}},x_{0_{2}}\in[0,1][/mm] geht.
>
> Das benutze ich ja auch in der Abschätzung.
> >
> > Jetzt kannst du entweder ausprobieren oder dir
> > strategisch überlegen wo sie genauer liegen müssten!
> >
> >
> > Gruß
> > DieAcht
> [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1| \le 3\underbrace{|x_n^2|}_{\le 1 für x \in [0,1]}[/mm]
> + 10 [mm]\underbrace{|x_n|}_{\le 1 für x \in [0,1]}[/mm] + 1 [mm]\le[/mm]
> 3+10+1 =14 > 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(x)| [mm]\le[/mm] 14
> ABER das bringt mir ja gar nichts??????????????
Hast du mal die Aufgabenstellung kontrolliert,
denn es existiert kein einziges [mm] x\in[0,1] [/mm] mit $|f'(x)|<1$.
Es gilt für alle [mm] x\in[0,1]:
[/mm]
[mm] $3x^2\ge [/mm] 0$ bzw. [mm] $10x\ge [/mm] 0$
[mm] \Rightarrow 3x^2+10x+1\ge1
[/mm]
Demnach folgt für alle [mm] x\in(0,1] [/mm] Divergenz!
Ich verstehe nicht wieso die Aufgabe ein [mm] x\in[0,1] [/mm] mit Konvergenz fordert.
Kontrollier bitte nochmal ob die Funktion richtig so ist.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 So 02.02.2014 | | Autor: | lisa2802 |
>
>
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > > War es eine gute idee über anziehender bzw abstoßender FP
> > > zu gehen?
> > >
> > > Du hast von Anfang an an deiner Idee festgehalten,
> > > hast gerechnet, abgeschätzt und argumentiert,
> > > aber dabei hast du die Aufgabenstellung aus den
> Augen
> > > verloren.
> > >
> > > Ein Fixpunkt [mm]\tilde{x}[/mm] heißt anziehend, falls
> > > [mm]|f'(\tilde{x})|<1[/mm] bzw. abstoßend, falls [mm]|f'(\tilde{x})|>1[/mm]
> > > gilt.
> > >
> > > Was du hier probierst zu tun ist die gesamte anziehende
> > > bzw. abstoßende Fixpunktmenge [mm]F_{\text{anziehend}}[/mm] bzw.
> > > [mm]F_{\text{abstoßend}}[/mm] zu errechnen.
> > >
> > > Das kannst du gerne ausrechnen, aber darum geht es hier
> > > nicht.
> > >
> > Ich dachte, dass ich vielleicht darüber zeigen kann, dass
> > es für kein [mm]x_{\*}[/mm] aus [0,1] konvergiert.
>
> Das wäre ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.
>
> Wenn du ein bestimmtes Intervall betrachten willst,
> dann empfehle ich dir die Voraussetzung des
> Banachschen Fixpunktsatzes zu überprüfen.
> Damit kommst du aber hier nicht weiter, siehe
> Aufgabenstellung.
>
> > > Du sollst Fixpunkte [mm]x_1\in[0,1],[/mm] als auch [mm]x_2\in[0,1][/mm]
> > > angeben, sodass das Verfahren für [mm]x_1[/mm] konvergiert sowie
> > > für [mm]x_2[/mm] divergiert.
> >
> > > Es gilt um folgendes Verfahren:
> > >
> > > [mm]f(x_n)=x_n^3+5x_n^2+x_n-1[/mm]
> > >
> > > Es gilt:
> > >
> > > [mm]f'(x_n)=3x_n^2+10x_n+1[/mm]
> > >
> > > Betrachte nun folgendes:
> > >
> > > [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|<1[/mm]
> > >
> > > [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1|>1[/mm]
> > >
> > > Mach dir wieder bewusst, dass es nur um Startwerte
> > > [mm]x_{0_{1}},x_{0_{2}}\in[0,1][/mm] geht.
> >
> > Das benutze ich ja auch in der Abschätzung.
> > >
> > > Jetzt kannst du entweder ausprobieren oder dir
> > > strategisch überlegen wo sie genauer liegen
> müssten!
> > >
> > >
> > > Gruß
> > > DieAcht
> > [mm]|f'(x_n)|=|3x_n^2+10x_n+1| \le 3\underbrace{|x_n^2|}_{\le 1 für x \in [0,1]}[/mm]
> > + 10 [mm]\underbrace{|x_n|}_{\le 1 für x \in [0,1]}[/mm] + 1 [mm]\le[/mm]
> > 3+10+1 =14 > 1
> > [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(x)| [mm]\le[/mm] 14
> > ABER das bringt mir ja gar nichts??????????????
>
> Hast du mal die Aufgabenstellung kontrolliert,
> denn es existiert kein einziges [mm]x\in[0,1][/mm] mit [mm]|f'(x)|<1[/mm].
>
> Es gilt für alle [mm]x\in[0,1]:[/mm]
>
> [mm]3x^2\ge 0[/mm] bzw. [mm]10x\ge 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 3x^2+10x+1\ge1[/mm]
>
> Demnach folgt für alle [mm]x\in(0,1][/mm] Divergenz!
>
> Ich verstehe nicht wieso die Aufgabe ein [mm]x\in[0,1][/mm] mit
> Konvergenz fordert.
>
> Kontrollier bitte nochmal ob die Funktion richtig so ist.
>
>
> Gruß
> DieAcht
jops, alles kontrolliert!!!!
Es ist eine Klausuraufgabe aus dem letzten Semester, die Aufgabe gab 9 Punkte (insg. gab es 30). Ich konnte die Aufgabe damals gar nicht und mir fehlte zum schluss ein halber Punkt zum bestehen. Und wollte jetzt vor der Klausur die alten Sachen nochmal bearbeiten. Besonders diesen Aufgabentyp.
Das hatte ich vorher ja auch bereits
" [mm] |f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1 [/mm]
[mm] \Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow [/mm] konvergenz für keinne Startwert [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1] "
und in die andere Richtung bekomm ich |f'(x)|<14, also 1 [mm] \le [/mm] |f'(x)| [mm] \le [/mm] 14 [mm] \Rightarrow [/mm] konvergenz für keinne Startwert [mm] x_{0} \in [/mm] [0,1]
Kann das vielleicht ein "Trickfrage" sein?
Ich werde das Montag mit dem Dozenten einmal abklären und melde mich dann noch mal! Vielleicht wisst ihr ja etwas, aber ich habe keine Ahnung m,ehr wie das gehen soll !!!...
trotzdem DANKE!!!!
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Hallo Lisa,
wenn ein Fehler in der Aufgabenstellung vorliegt, kann man sich manchmal um Kopf und Kragen denken/rechnen/schreiben...
> [...]
>
> > Ich verstehe nicht wieso die Aufgabe ein [mm]x\in[0,1][/mm] mit
> > Konvergenz fordert.
> >
> > Kontrollier bitte nochmal ob die Funktion richtig so ist.
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
>
> jops, alles kontrolliert!!!!
> Es ist eine Klausuraufgabe aus dem letzten Semester, die
> Aufgabe gab 9 Punkte (insg. gab es 30). Ich konnte die
> Aufgabe damals gar nicht und mir fehlte zum schluss ein
> halber Punkt zum bestehen. Und wollte jetzt vor der Klausur
> die alten Sachen nochmal bearbeiten. Besonders diesen
> Aufgabentyp.
> Das hatte ich vorher ja auch bereits
> " [mm]|f'(x)|=|10x_{n}+3x_{n}^{2}+1| =|3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}-\bruch{22}{3}| \ge ||3(x_{n}+\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| \ge ||3(\bruch{5}{3})^{2}|-|\bruch{22}{3}|| =||\bruch{25}{3}|-|\bruch{22}{3}||=|\bruch{25}{3}-\bruch{22}{3}|=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f'(x_{n})|>1 \Rightarrow[/mm] konvergenz für
> keinne Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1] "
> und in die andere Richtung bekomm ich |f'(x)|<14, also
> 1 [mm]\le[/mm] |f'(x)| [mm]\le[/mm] 14 [mm]\Rightarrow[/mm] konvergenz für keinne
> Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [0,1]
>
> Kann das vielleicht ein "Trickfrage" sein?
Glaub ich nicht. Es gibt halt zwei Möglichkeiten: entweder da stimmt z.B. ein Vorzeichen in der Aufgabenstellung nicht, oder die richtige Antwort beinhaltet die Aussage, dass es eben keinen Startwert gibt, der Konvergenz ermöglicht.
> Ich werde das Montag mit dem Dozenten einmal abklären und
> melde mich dann noch mal! Vielleicht wisst ihr ja etwas,
> aber ich habe keine Ahnung m,ehr wie das gehen soll !!!...
Das ist eine gute Idee. Vielleicht kannst Du sogar eine Musterlösung bekommen? Die meisten Dozenten unterstützen Leute, die selbständig lernen und mit gut vorausgewählten Fragen ankommen. Da sollte man halt wirklich vorher alles abgeklärt haben - aber das hast Du jetzt wohl auch, wenn ich mir diesen langen Thread so ansehe.
> trotzdem DANKE!!!!
Na, das gilt nicht mir, aber DieAcht wird es bestimmt ebenso lesen wie die anderen, die Dir hier schon geholfen haben.
Grüße - und viel Erfolg!
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 06.02.2014 | | Autor: | lisa2802 |
hallo,
als erstes möchte ich euch nochmal für eure hilfe danken
So es war wirklich eine "trickfrage";
Das Verfahren konvergiert nur für den Fixpunkt(die lösung aus teil a)) und divergiert für jeden anderen Wert aus dem Intervall. :)
Es war eine schwere Geburt aber jetzt ist es zum Glück geklärt ;)
Grüße
Lisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Do 30.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Danke ))
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Fr 31.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
zu c) Zeigen Sie, dass das Verfahren
[mm]x_{n+1}=\wurzel{\bruch{1}{5+x_{n}}}[/mm] + a n [mm]\in \IN \cup[/mm] {0} [mm](\*\*)[/mm]
für höchsten ein a [mm]\in \IR[/mm] gegen [mm]x_{\*}[/mm] aus Teil a)
konvergieren kann.
ich habe jetzt versucht das per cauchy-krit. zu zeigen
also [mm] |x_{n+1}-x_{n}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n}}}-\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n-1}}}| \le |\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n}}}| [/mm] + [mm] |\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n-1}}}| \le \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] =1
wenn ich jetzt aber von [mm] |x_{n+1}-x_{n}| [/mm] ausgehe und die umformung n mal anwende habe ich dann nicht nachher
[mm] |x_{n+1}-x_{n}| \le [/mm] ... [mm] \le (\bruch{1}{2})^{n} \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle n,m> [mm] N=\bruch{ln(\varepsilon)}{-ln(2)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Cauchyfolge
[mm] \Rightarrow [/mm] konvergenz
[mm] \Rightarrow [/mm] unabhängig von a?
das kann ja nicht korrekt sein???
zur d)
Das zeige ich per Banachschen Fixpunktsatz also grob
[mm] 0\le [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] 1 ( selbstabb.)
und dann |f'(x)| [mm] \le [/mm] ... [mm] \le \bruch{1}{250} \le [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |f'(x)| [mm] \approx \alpha
[/mm]
sodass |f(x)-f(y)| [mm] \le \alpha [/mm] |x-y| ( MWS noch anwenden)
und zur e)
[mm] f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1
[/mm]
[mm] f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}
[/mm]
newton:
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}
[/mm]
für [mm] x_{0}=1 [/mm] gilt dann
[mm] x_{1}=\bruch{1}{4}
[/mm]
genügt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich muss gleich los, deshalb nur e).
Der eine oder andere wird dir sicher
den Rest bald kontrollieren.
> und zur e)
>
> [mm]f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1[/mm]
> [mm]f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}[/mm]
>
> newton:
>
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
Deine Darstellung von Newton ist zunächst falsch
und das Gleichheitszeichen gilt nicht!
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots
[/mm]
Jetzt du!
> für [mm]x_{0}=1[/mm] gilt dann
>
> [mm]x_{1}=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> genügt das so?
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Fr 31.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> Hallo,
>
> Ich muss gleich los, deshalb nur e).
> Der eine oder andere wird dir sicher
> den Rest bald kontrollieren.
>
> > und zur e)
> >
> > [mm]f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1[/mm]
> >
> [mm]f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}[/mm]
> >
> > newton:
> >
> >
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
>
> Deine Darstellung von Newton ist zunächst falsch
> und das Gleichheitszeichen gilt nicht!
>
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots[/mm]
>
> Jetzt du!
>
> > für [mm]x_{0}=1[/mm] gilt dann
> >
> > [mm]x_{1}=\bruch{1}{4}[/mm]
> >
> > genügt das so?
>
> DieAcht
Hallöchen,
Ersteinmal Danke.
was genau ist daran denn falsch? Beim Newtonverfahren gilt doch
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
ersteinmal das.
Wenn ich nun mein f(x) und f'(x) einsetze erhalte ich obiges?
denn
okay war gestern zu spät:
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}
[/mm]
[mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] x_{1}=\bruch{8}{13} [/mm]
müsste jetzt korrekt sein, oder?
Danke
|
|
|
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Fr 31.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > Ich muss gleich los, deshalb nur e).
> > Der eine oder andere wird dir sicher
> > den Rest bald kontrollieren.
> >
> > > und zur e)
> > >
> > > [mm]f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1[/mm]
> > >
> > [mm]f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}[/mm]
> > >
> > > newton:
> > >
> > >
> >
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> >
> > Deine Darstellung von Newton ist zunächst falsch
> > und das Gleichheitszeichen gilt nicht!
> >
> > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots[/mm]
> >
> > Jetzt du!
> >
> > > für [mm]x_{0}=1[/mm] gilt dann
> > >
> > > [mm]x_{1}=\bruch{1}{4}[/mm]
> > >
> > > genügt das so?
> >
> > DieAcht
>
>
>
> Hallöchen,
>
> Ersteinmal Danke.
>
> was genau ist daran denn falsch? Beim Newtonverfahren gilt
> doch
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
> ersteinmal das.
> Wenn ich nun mein f(x) und f'(x) einsetze erhalte ich
> obiges?
> denn
>
> okay war gestern zu spät:
>
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
Nach dem dritten "=" stimmts nicht mehr. Achte auf Vorzeichen !
FRED
> [mm]x_{0}=1[/mm]
> [mm]x_{1}=\bruch{8}{13}[/mm]
>
>
> müsste jetzt korrekt sein, oder?
>
> Danke
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Fr 31.01.2014 | | Autor: | lisa2802 |
> > > Hallo,
> > >
> > > Ich muss gleich los, deshalb nur e).
> > > Der eine oder andere wird dir sicher
> > > den Rest bald kontrollieren.
> > >
> > > > und zur e)
> > > >
> > > > [mm]f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1[/mm]
> > > >
> > > [mm]f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}[/mm]
> > > >
> > > > newton:
> > > >
> > > >
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> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > >
> > > Deine Darstellung von Newton ist zunächst falsch
> > > und das Gleichheitszeichen gilt nicht!
> > >
> > > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots[/mm]
> >
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> > > Jetzt du!
> > >
> > > > für [mm]x_{0}=1[/mm] gilt dann
> > > >
> > > > [mm]x_{1}=\bruch{1}{4}[/mm]
> > > >
> > > > genügt das so?
> > >
> > > DieAcht
> >
> >
> >
> > Hallöchen,
> >
> > Ersteinmal Danke.
> >
> > was genau ist daran denn falsch? Beim Newtonverfahren gilt
> > doch
> > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
> > ersteinmal das.
> > Wenn ich nun mein f(x) und f'(x) einsetze erhalte ich
> > obiges?
> > denn
> >
> > okay war gestern zu spät:
> >
> > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
>
> Nach dem dritten "=" stimmts nicht mehr. Achte auf
> Vorzeichen !
>
> FRED
> > [mm]x_{0}=1[/mm]
> > [mm]x_{1}=\bruch{8}{13}[/mm]
> >
> >
> > müsste jetzt korrekt sein, oder?
> >
> > Danke
>
AAARGH ich bin zu doof zumabtippen ... hab die Klammer vergessen
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-(x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1)}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}=\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3-5*x_{n}^{2}+1)}{3*x_{n}^2+10*x_{n}} [/mm] =
[mm] \bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}
[/mm]
Danke!
Müsste jetzt eigentlich richtig sein. Die hauptsache war dass das "Prinzip" korrekt war :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Fr 31.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > Ich muss gleich los, deshalb nur e).
> > > > Der eine oder andere wird dir sicher
> > > > den Rest bald kontrollieren.
> > > >
> > > > > und zur e)
> > > > >
> > > > > [mm]f(x_{n})= x_{n+1}=x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1[/mm]
> > > > >
> > > > [mm]f'(x_{n})=3*x_{n}^2+10*x_{n}[/mm]
> > > > >
> > > > > newton:
> > > > >
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> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}=...=\bruch{1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > > >
> > > > Deine Darstellung von Newton ist zunächst falsch
> > > > und das Gleichheitszeichen gilt nicht!
> > > >
> > > > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots[/mm]
> >
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> > > > Jetzt du!
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> > > > > für [mm]x_{0}=1[/mm] gilt dann
> > > > >
> > > > > [mm]x_{1}=\bruch{1}{4}[/mm]
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> > > > > genügt das so?
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> > > > DieAcht
> > >
> > >
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> > > Hallöchen,
> > >
> > > Ersteinmal Danke.
> > >
> > > was genau ist daran denn falsch? Beim Newtonverfahren gilt
> > > doch
> > > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}[/mm]
> > > ersteinmal das.
> > > Wenn ich nun mein f(x) und f'(x) einsetze erhalte
> ich
> > > obiges?
> > > denn
> > >
> > > okay war gestern zu spät:
> > >
> > > [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > > =
> > >
> >
> [mm]\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> >
> > Nach dem dritten "=" stimmts nicht mehr. Achte auf
> > Vorzeichen !
> >
> > FRED
> > > [mm]x_{0}=1[/mm]
> > > [mm]x_{1}=\bruch{8}{13}[/mm]
> > >
> > >
> > > müsste jetzt korrekt sein, oder?
> > >
> > > Danke
> >
> AAARGH ich bin zu doof zumabtippen ... hab die Klammer
> vergessen
>
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x)}{f'(x)}= x_{n}-\bruch{x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-(x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1)}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}=\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3-5*x_{n}^{2}+1)}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
>
>
> Danke!
>
> Müsste jetzt eigentlich richtig sein.
Ja
FRED
> Die hauptsache war
> dass das "Prinzip" korrekt war :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> [mm]\bruch{3*x_{n}^3+10*x_{n}^2-x_{n}^3+5*x_{n}^{2}-1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{2*x_{n}^3+5*x_{n}^2+1}{3*x_{n}^2+10*x_{n}}[/mm]
Auch wenn dein Ergebnis richtig ist und es eine gute Übung war,
hast du das viel zu umständlich gemacht.
Ich habe dir doch folgendes geschrieben:
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm]
[mm] \Rightarrow x_1=x_0-\bruch{f(x_0)}{f'(x_0)}=\ldots [/mm]
Das heißt, dass du [mm] x_0=1 [/mm] direkt einsetzen kannst und es gilt:
[mm] x_1=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{1^3+5*(1^2)-1}{3*(1)^2+10*1}=1-\frac{5}{13}=\frac{8}{13}
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zu c) Zeigen Sie, dass das Verfahren
> [mm]x_{n+1}=\wurzel{\bruch{1}{5+x_{n}}}[/mm] + a n [mm]\in \IN \cup[/mm]
> {0} [mm](\*\*)[/mm]
> für höchsten ein a [mm]\in \IR[/mm] gegen [mm]x_{\*}[/mm] aus Teil a)
> konvergieren kann.
>
> ich habe jetzt versucht das per cauchy-krit. zu zeigen
>
> also [mm]|x_{n+1}-x_{n}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n}}}-\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n-1}}}| \le |\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n}}}|[/mm]
> + [mm]|\bruch{1}{\wurzel{5+x_{n-1}}}| \le \bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =1
> wenn ich jetzt aber von [mm]|x_{n+1}-x_{n}|[/mm] ausgehe und die
> umformung n mal anwende habe ich dann nicht nachher
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}| \le[/mm] ... [mm]\le (\bruch{1}{2})^{n} \le \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle n,m>
> [mm]N=\bruch{ln(\varepsilon)}{-ln(2)}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Cauchyfolge
> [mm]\Rightarrow[/mm] konvergenz
> [mm]\Rightarrow[/mm] unabhängig von a?
> das kann ja nicht korrekt sein???
Das $a$ gehört zu dem Verfahren [mm] x_{n+1}!
[/mm]
DieAcht
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Hallo,
> zur d)
> Das zeige ich per Banachschen Fixpunktsatz also grob
> [mm]0\le[/mm] |f(x)| [mm]\le[/mm] 1 ( selbstabb.)
> und dann |f'(x)| [mm]\le[/mm] ... [mm]\le \bruch{1}{250} \le[/mm] 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] |f'(x)| [mm]\approx \alpha[/mm]
> sodass |f(x)-f(y)| [mm]\le \alpha[/mm]
> |x-y| ( MWS noch anwenden)
Ja das geht, aber du hast es noch sehr grob aufgeschrieben.
Du musst mit der Abbildung
$f:[0,K] [mm] \to [/mm] [0,K], f(x) = [mm] (5+x)^{-\frac{1}{2}}$
[/mm]
arbeiten und dort $|f'(x)| [mm] \le [/mm] C < 1$ zeigen.
Dabei brauchst du wahrscheinlich, dass $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt, um abschätzen zu können.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Sa 01.02.2014 | | Autor: | lisa2802 |
Danke , hab es hier ausführlich aufgeschrieben. Schön, dass mein Gedankengang jedenfalls einmal richtig war ;)
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