Lösung von k-Wert => keine < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 12.06.2005 | | Autor: | MrS |
Hi,
ich habe eine weitere Frage:
[mm] \pmat{ 1 & k & -3 \\ k & 4 & 6 }
[/mm]
Und nun zu meiner Frage,
Für welche Werte von k gibt es keine Lösung?
==> dabei bin ich wie folgt vorgegangen:
Durch rumprobieren hab ich rausbekommen, dass dies bei 2 der Fall ist!
Doch ich denke, dass es dafür einen weiteren Lösungsweg gibt! Ich hoffe, ihr könnt mir dabei behilflich sein!
Mit freundlichen Grüßen
MrS
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 So 12.06.2005 | | Autor: | zoe |
Hi MrS,
sieht das System wieder so aus:
[mm] \pmat{ 1 & k & | & -3 \\ k & 4 & | & 6} [/mm] ??
Liebe Grüße von zoe
|
|
|
| |
|
Hi, MrS,
kennst Du die Determinante schon?
Dann setze [mm] \vmat{1 & k \\ k & 4} [/mm] = 0:
4 - [mm] k^{2} [/mm] = 0
[mm] k^{2} [/mm] = 4
k=2 [mm] \vee [/mm] k = -2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> kennst Du die Determinante schon?
>
> Dann setze [mm]\vmat{1 & k \\ k & 4}[/mm] = 0:
>
> 4 - [mm]k^{2}[/mm] = 0
>
> [mm]k^{2}[/mm] = 4
>
> k=2 [mm]\vee[/mm] k = -2.
Die Hauptdeterminante reicht da aber nicht zur Untersuchung aus.
Daraus, dass sie 0 ist, kann man nur folgern, dass es keine eindeutige Lösung gibt, also entweder gar keine Lösung oder unendlich viele.
Diese beiden Fälle können dann mit den Nebendeterminanten unterschieden werden (darauf sollten wir aber vielleicht erst eingehen, wenn der Schüler Determinaten überhaupt schon hatte).
Hier ist es übrigens tatsächlich so, dass wir für k=2 keine Lösung haben, und für k=-2 unendlich viele Lösungen.
Also lautet die Antwort: Nur für k=2 gibt es keine Lösung.
Will man keine Determinanten benutzen, so arbeitet man am besten mit dem Gauß-Algorithmus (wie zoe und zwerglein interpretiere ich die letzte Spalte als rechte Seite des LGS)
[mm]\left(\begin{array}{rr|r}
1 & k & -3 \\
k & 4 & 6\end{array}\right)[/mm]
(das (-k)-fache der ersten Zeile zur zweiten addieren):
[mm]\gdw \left(\begin{array}{rr|r}
1 & k & -3 \\
0 & \red{4-k^2} & \blue{6+3k}\end{array}\right)[/mm]
Das Gleichungssystem hat nun schon Dreiecksgestalt (Zeilenstufenform), und die Anzahl der Lösungen kann an der letzten Zeile abgelesen werden:
Letzte Zeile lauter Nullen [mm] $\gdw$ [/mm] Das LGS hat unendlich viele Lösungen
Roter Eintrag=0 und rechte [mm] Seite$\not=0$ $\gdw$ [/mm] Keine Lösung
Roter [mm] Eintrag$\not=0$ $\gdw$ [/mm] Genau eine Lösung.
Wir müssen also untersuchen, dass [mm] $\red{4-k^2}=0$ [/mm] und [mm] $\blue{6+3k}\not=0$:
[/mm]
[mm] $\red{4-k^2}=0$ $\gdw$ [/mm] k=2 oder k=-2
Für k=2 wird [mm] $\blue{6+3k}\not=0$ $\Rightarrow$ [/mm] keine Lösung des LGS
Für k=-2 wird [mm] $\blue{6+3k}=0$ $\Rightarrow$ [/mm] Unendlich viele Lösungen des LGS
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marc,
hast Recht! Ich sollte um die Uhrzeit keine Fragen mehr beantworten!
|
|
|
|
