Lösung von lin. DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | (Siehe Fragestellung!) |
Hallo Leute!
...und einen schönen guten Morgen
Ich habe heute ein par Fragen für an euch, die sich auf das Lösen von linearen Differntialgleichungen 1. Ordnung beziehen, welche inhomegen ist.
Diese sieht ja allgemein so aus:
[mm]y'+f(x)*y=g(x)[/mm]
Dann kann man sich überlegen, dass sich die Lösung der inhomogenen aus einer allgemeinen der DGL spezifischen partikulären Lösung zusammensetzt.
Die Lösung der homogenen ist schnell gefunden, dass vestehe ich auch:
[mm]y_h=A*e^{-F(x)}[/mm]
Jetzt jedoch kommt die Variation der Konstanten, ich ersetze also die Konstante [mm]A[/mm] durch eine neue Funktion. Das ist dann die partikuläre Lösug. Das setze ich dann in die inhomegene Gleichung ein, um nach der Funktion umzustellen, die die Konstante ersetzt.
Das sieht dann so aus:
[mm]\left(u(x)*e^{-F(x)}\right)'+f(x)*\left(u(x)*e^{-F(x)}\right)=g(x)[/mm]
Durch auflösen der Klammer und zusammenfassen ensteht:
[mm]u'(x)*e^{-F(x)}-f(x)*u(x)*e^{-F(x)}+f(x)*u(x)*e^{-F(x)}=g(x)[/mm]
Und daraus:
[mm]u'(x)*e^{-F(x)}=g(x)[/mm]
Und somit:
[mm]u'(x)=\left \bruch{g(x)}{e^{-F(x)}} \right=g(x)*e^{F(x)}[/mm]
[mm]u(x)=\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx[/mm]
Und somit ist die partikuläre Lösung:
[mm]y_p=\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx*e^{-F(x)}[/mm]
Die Lösung der DGL ist dann:
[mm]y=y_p+y_a=A*e^{-F(x)}+\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx*e^{-F(x)}[/mm]
..ist das nun soweit korrekt?
Wenn nicht, wäre es wirklich nett von euch, wenn ihr mir mal kurz erläutert, wo Fehler liegen.
Sollte dies nicht der Fall sein, würde ich gerne noch mal Fragen zu einer konkreten DGL dieser Form stellen, wo dann das Integral gelöst werden muss.
Schon mal DANKE im Vorraus!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi
Super, ist alles richtig, außer dass in der DGL am Anfang ein + statt * steht : y' + f(x)*y = g(x).
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (siehe Vorrangegangenes!) |
Hallo Sax!
...erstmal Dankeschön, dass du dir Zeit genommen hast, um meine Frage zu beantworten!
Den Tippfehler habe ich korrigiert!
Nun aber mal zu einer konkreten DGL:
[mm]y'+x^2*y=2x^2[/mm]
Dann ist:
[mm]y_h=A*e^{-\left \bruch{1}{3} \right x^3}[/mm]
Jedoch das Integral in der partiklulären Lösung macht Probleme:
[mm]\integral_{}^{} 2x^2*e^{-\left \bruch{1}{3} \right x^3}\, dx[/mm]
Ich vermute mal, dass hier mehrfache partielle Integration und Substitution mit der e-Funktion zu Ziel führt. Das ist mal wieder ziemlich viele Aufwand; wie eben immer beim Integrieren.
Kennt jedoch jemand einen "Trick" für ein effizienteres Herangehen und Integrale, die so aussehen?
Wäre echt nett, wenn ihr mir das beschreiben könntet und vielleicht sogar an diesem Integral einmal demonstrieren?
Das wäre wirklich nett!
Schon mal danke im Vorraus!
Mit lieben Güßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Fr 13.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Integral ist viel einfacher, nämlich von der Form [mm] (e^{f(x)})'=f'*e^f [/mm] bis auf Zahlenfaktoren! dann kann mans nätürlich auch mit Substitution [mm] z=-1/3x^3 [/mm] lösen, aber das ist eigentlich überflüssig. Integrale der Form [mm] g(x)*e^{f(x)} [/mm] kann man meist nur lösen, wenn g(x) etwa f' ist! partiell hilft nix, weil ja das [mm] e^f [/mm] immer da bleibt!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo Goldener Schnitt,
da sind ein paar Fehler in deinen Ausführungen:
> Diese sieht ja allgemein so aus:
>
> [mm]y'+f(x)*y=g(x)[/mm]
>
>
> Dann kann man sich überlegen, dass sich die Lösung der
> inhomogenen aus einer allgemeinen der DGL spezifischen
> partikulären Lösung zusammensetzt.
> Die Lösung der homogenen ist schnell gefunden, dass
> vestehe ich auch:
> [mm]y_h=A*e^{-F(x)}[/mm]
>
> Jetzt jedoch kommt die Variation der Konstanten, ich
> ersetze also die Konstante [mm]A[/mm] durch eine neue Funktion. Das
> ist dann die partikuläre Lösung.
Der letzte Satz ist nicht richtig. Die Konstante, bzw. Funktion, entspricht nicht der partikulären Lösung. Ich zeige es Dir nachher an einem Bsp.
>Das setze ich dann in die
> inhomegene Gleichung ein, um nach der Funktion umzustellen,
> die die Konstante ersetzt.
> Das sieht dann so aus:
>
> [mm]\left(u(x)*e^{-F(x)}\right)'+f(x)*\left(u(x)*e^{-F(x)}\right)=g(x)[/mm]
> Durch auflösen der Klammer und zusammenfassen ensteht:
>
> [mm]u'(x)*e^{-F(x)}-f(x)*u(x)*e^{-F(x)}+f(x)*u(x)*e^{-F(x)}=g(x)[/mm]
> Und daraus:
> [mm]u'(x)*e^{-F(x)}=g(x)[/mm]
> Und somit:
> [mm]u'(x)=\left \bruch{g(x)}{e^{-F(x)}} \right=g(x)*e^{F(x)}[/mm]
>
> [mm]u(x)=\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx[/mm]
> Und somit ist die partikuläre Lösung:
> [mm]y_p=\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx*e^{-F(x)}[/mm]
Bei der Methode "Variation der Konstanten" ist das nicht die partikuläre Lösung, sondern schon die allgemeine Lösung. Hier bist Du fertig.
> Die
> Lösung der DGL ist dann:
>
> [mm]y=y_p+y_a=A*e^{-F(x)}+\integral_{}^{}g(x)*e^{F(x)}\, dx*e^{-F(x)}[/mm]
>
>
> ..ist das nun soweit korrekt?
Für die Methode "Variation der Konstanten" ist das nicht korrekt.
Es gibt aber noch eine Methode, das "Aufsuchen einer partikulären Lösung", bei der sich die allgemeine Lösung als Summe aus homogener und partikulärer ergibt.
Ich rechne Dir mal beide Methoden anhand deiner Beispielaufgabe durch:
[mm]y'+x^2*y=2*x^2[/mm]
[mm]y_{H}=C*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Die Lsg. der homogenen Gleichung war klar. Jetzt "Variation der Konstanten":
[mm]y=u(x)*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
[mm]y'=u(x)'*e^{-\bruch{x^3}{3}}-x^2*u(x)*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Einsetzen in die DGL:
[mm]u(x)'*e^{-\bruch{x^3}{3}}-x^2*u(x)*e^{-\bruch{x^3}{3}}+x^2*u(x)*e^{-\bruch{x^3}{3}}=2*x^2[/mm]
[mm]u(x)'=2*x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
[mm]\integral u(x)'=\integral 2*x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
[mm]u(x)=2e^{\bruch{x^3}{3}}+C[/mm]
Jetzt die Funktion u(x) einsetzen in
[mm]y=u(x)*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm] und Du bist fertig:
[mm]y=(2e^{\bruch{x^3}{3}}+C)*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
[mm]y=2+C*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Deine partikuläre Lösung ist also [mm] y_{p} [/mm] = 2, die variierte Konstante hingegen [mm]u(x)=2e^{\bruch{x^3}{3}}+C[/mm]. Sie sind also nicht identisch.
Jetzt noch zum Vergleich das "Aufsuchen einer partikulären Lösung" (was i. a. nur bei nicht zu komplizierten Störfunktionen geht):
[mm]y'+x^2*y=2*x^2[/mm]
[mm]y_{H}=C*e^{-\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Der Lösungsansatz für das spezielle Störglied ist ein Polynom 2. Grades:
[mm]y_{p}= a*x^2+b*x+c[/mm]
[mm]y_{p}'= 2*a*x+b[/mm]
Einsetzen in die DGL:
[mm]2*a*x+b+a*x^4+b*x^3+c*x^2=2*x^2[/mm]
[mm]a*x^4+b*x^3+c*x^2+2*a*x+b=2*x^2[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich ergibt:
a = 0 b = 0 c = 2
Damit lautet die partikuläre Funktion [mm] y_{p} [/mm] = 2.
Jetzt ergibt sich die allgemeine Lösung in der Tat als Summe aus der homogenen und der partikulären Lösung:
[mm]y = y_{H} + y_{p} = C*e^{-\bruch{x^3}{3}}+2[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
Hallo Martinius!
..und einen schönen Nachmittag!
Erstmal danke für deinen Erklärungen.
Dass die partikuläre Lösung nicht mit der Funktion "für den Variation der Konstanten" übereinstimmt, ist mir völlig einsichtig und klar, jedoch habe ich es extrem missverständlich formuliert, warum auch immer.
Zu deiner zweiten Methode: Ich muss mich dadurch erstmal durchdenke, aber finde ich toll von dir, dass du mir auch so etwas beschreibst, wonach ich garnicht gefragt hast; so kommt man immer noch auf viele weitere Interessante Sachen! Ich frage da bestimmt mal wieder darüber nach! Ich bin jedoch ab morgen erstmal weg!
Könntest du mir jedoch noch einmal erklären, wie man das auftretende Integral löst? Das bekomme ich nämlich nicht wirklich hin. Leduart hat es mir hier erklärt, jedoch konnte ich es nicht richtig verstehen.
Ich verstehe schon, dass die notwendiges "Handwerkszeug" ist, um Differntiagleichungen selbständig lösen zu können. Jedoch beschäftige ich mich noch nicht so lange damit und ich glaube um schnell die richtige Lösungsweg zu erkennen.
Das wäre echt nett von dir, übere den anderen von dir beschriebenen Weg muss ich erstmal nachdenken!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | (Siehe Vorrangegangenes!) |
Hallo Martinius!
..und einen schönen Nachmittag!
Erstmal danke für deinen Erklärungen.
Dass die partikuläre Lösung nicht mit der Funktion "für den Variation der Konstanten" übereinstimmt, ist mir völlig einsichtig und klar, jedoch habe ich es extrem missverständlich formuliert, warum auch immer.
Zu deiner zweiten Methode: Ich muss mich dadurch erstmal durchdenke, aber finde ich toll von dir, dass du mir auch so etwas beschreibst, wonach ich garnicht gefragt hast; so kommt man immer noch auf viele weitere Interessante Sachen! Ich frage da bestimmt mal wieder darüber nach! Ich bin jedoch ab morgen erstmal weg!
Könntest du mir jedoch noch einmal erklären, wie man das auftretende Integral löst? Das bekomme ich nämlich nicht wirklich hin. Leduart hat es mir hier erklärt, jedoch konnte ich es nicht richtig verstehen.
Ich verstehe schon, dass die notwendiges "Handwerkszeug" ist, um Differntiagleichungen selbständig lösen zu können. Jedoch beschäftige ich mich noch nicht so lange damit und ich glaube um schnell die richtige Lösungsweg zu erkennen.
Das wäre echt nett von dir, übere den anderen von dir beschriebenen Weg muss ich erstmal nachdenken!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
Hallo Goldener Schnitt,
leduart hat es ja erklärt: wenn Du eine Funktion hast
[mm]u_{(x)}'=f'(x)*e^{f(x)}[/mm]
dann ist sie einfach zu integrieren:
[mm]u_{(x)}=e^{f(x)}[/[/mm]
Mal an deiner Funktion beschrieben:
[mm]g_{(x)}=e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Wenn Du die ableitest bekommst Du ja
[mm]g_{(x)}'=x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Also ist
[mm]\integral g_{(x)}'=\integral x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}\,dx = g(x) = e^{\bruch{x^3}{3}}+C[/mm]
Wenn Du nun deine Funktion aus der DGL integrieren möchtest:
[mm]u_{(x)}'=2*x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Dann steht da ja
[mm]u_{(x)}'=2*f'(x)*e^{f(x)}[/mm] und
[mm]\integral u_{(x)}'=\integral 2*x^2*e^{\bruch{x^3}{3}}\, dx = 2*e^{\bruch{x^3}{3}}[/mm]
Es ist gar nicht schwer.
Was das "Aufsuchen einer partikulären Lösung" angeht, so kannst Du auch in einer Bibliothek nachsehen. Nach dem Buch:
Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Lothar Papula, Band 2
Der ist auch für Schüler sehr gut verständlich.
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Di 17.07.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Für die Methode "Variation der Konstanten" ist das nicht
> korrekt.
Diesen Satz würde ich so nicht stehen lassen, es ergibt sich nämlich durchaus die korrekte Lösung. Der Punkt ist, dass es die partikuläre Lösung nicht gibt, sondern immer nur eine. Der Unterschied zwischen Deiner Lösung und der des Fragestellers liegt allein darin, an welcher Stelle der Scharparameter C berücksichtigt wird.
Der ursprüngliche Lösungsweg berechnet (anhand des Beispiels) aus
$ [mm] \integral u(x)'=\integral 2\cdot{}x^2\cdot{}e^{\bruch{x^3}{3}} [/mm] $
eine mögliche Lösung $ [mm] u(x)=2e^{\bruch{x^3}{3}} [/mm] $ (ohne C)
und dann weiter eine partikuläre Lösung $ [mm] y_{p}=u(x)\cdot{}e^{-\bruch{x^3}{3}} [/mm] = 2 $ um schließlich mit $ y = [mm] y_{h} [/mm] + [mm] y_{p} [/mm] $ die allgemeine Lösung anzugeben.
Welchen Lösungsweg man bevorzugt ist wohl Geschmackssache.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Di 17.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Sax,
ich hätte wohl besser meinen Mund halten sollen, als mathematischer Laie.
LG, Martinius
|
|
|
|
