Lösung von quadr. Glchg mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p eine ungerade Primzahl. Zeige: Die quadratische Gleichung [mm] x^2 [/mm] +
ax + b = 0 hat modulo p
- genau zwei verschiedene Lösungen, wenn [mm] (\bruch{a^2-4b}{p})= [/mm] 1,
- genau eine Lösung, wenn [mm] (\bruch{a^2-4b}{p}) [/mm] = 0,
- keine Lösung, wenn [mm] (\bruch{a^2-4b}{p}) [/mm] = -1. |
Hallo ihr,
grundsätzlich ist natürlich klar, was gezeigt werden muss - aber beim Ansatz habe ich Probleme und weiß nicht recht, wie ich am besten anfange.
Hat jemand einen Tipp?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 20.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei p eine ungerade Primzahl. Zeige: Die quadratische
> Gleichung [mm]x^2[/mm] +
> ax + b = 0 hat modulo p
> - genau zwei verschiedene Lösungen, wenn
> [mm](\bruch{a^2-4b}{p})=[/mm] 1,
> - genau eine Lösung, wenn [mm](\bruch{a^2-4b}{p})[/mm] = 0,
> - keine Lösung, wenn [mm](\bruch{a^2-4b}{p})[/mm] = -1.
> Hallo ihr,
>
> grundsätzlich ist natürlich klar, was gezeigt werden muss
> - aber beim Ansatz habe ich Probleme und weiß nicht recht,
> wie ich am besten anfange.
Rechne doch mal im endlichen Koerper [mm] $\IZ/p\IZ$. [/mm] Wenn du dort [mm] $x^2 [/mm] + a x + b = 0$ aufloest, genauso wie in [mm] $\IR$, [/mm] dann kommst du auf eine Loesung wie $x = A + B [mm] \sqrt{C}$ [/mm] mit $A, B, C [mm] \in \IZ/p\IZ$.
[/mm]
Jetzt musst du dich fragen:
a) darfst du so rechnen? Wenn du durch etwas teilst, ist dies invertierbar?
b) wann ist [mm] $\sqrt{C} \in \IZ/p\IZ$? [/mm] Wieviele Wurzeln hat $C$ in [mm] $\IZ/p\IZ$? [/mm] Keine, eine, oder zwei?
LG Felix
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