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Forum "Analysis-Sonstiges" - Lösungen Gleichung mit Betrag
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Lösungen Gleichung mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 So 01.06.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichung:
[mm] \left| x-\sqrt{2x-1}\right|=x [/mm]

Also mir fehlt so ein bisschen der rote Faden für meinen Lösungsansatz.
Zunächst guck ich wann der Betragsinhalt negativ ist:

[mm] x-\sqrt{2x-1}<=0 [/mm]
[mm] x<=\sqrt{2x-1} [/mm]
[mm] x^2<=2x-1 [/mm]
[mm] x^2-2x+1<=0 [/mm]
(-x+1)(-x+1)<=0

Aber wie gehe ich jetzt bei dieser Ungleichung weiter vor ?

Bin euch wie immer für jede Hilfe dankbar ;)
besten Gruß,
tedd
        
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 So 01.06.2008
Autor: weihnachtsman

Hallo tedd, ich würde die aufgabe wie folgt  lösen :

[mm] \left| x-\sqrt{2x-1}\right|=x \gdw [/mm] -( [mm] x-\sqrt{2x-1}) [/mm] =x und [mm] x-\sqrt{2x-1}\right [/mm] =x

Du musst jetzt also -( [mm] x-\sqrt{2x-1}) [/mm] =x nach x auflösen und danach
[mm] x-\sqrt{2x-1}\right [/mm] =x

So hast du nicht mit ungleichungen zu kämpfen... :-)
lg weihnachtsmann
Bezug
        
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: quadrieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 01.06.2008
Autor: Loddar

Hallo tedd!


Aus der Ausgangsgleichung folgt unmittelbar $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ . Quadriere also nunmehr die Gleichung und Du bist die Betragsstriche los.


Gruß
Loddar

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Lösungen Gleichung mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Di 03.06.2008
Autor: tedd

Ahh Super! Danke!
Hab dann so weitergemacht:
[mm]\left| x-\sqrt{2x-1}\left|[/mm]

Aus der Gleichung geht hervor, dass immer x >= 0 gilt.

[mm](x-\sqrt{2x-1})^2=x^2 x^2-2x\sqrt{2x-1}+2x-1=x^2 2x\sqrt{2x-1}=2x-1 4x^2(2x-1)=4x^2-4x+1 8x^3-4x^2=4x^2-4x+1 0=8x^3-8x^2+4x-1[/mm]
hab dann Nullstellen geraten(Teiler vom Absolutglied):
[mm](x-\bruch{1}{2})[/mm]

Dann Polynomdivision:
[mm]8x^3-8x^2+4x-1:(x-\bruch{1}{2})=8x^2-4x+2 8x^2-4x+2=0 x^2-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}=0[/mm]

Dann p/q-Formel:

[mm]x_1_/_2=\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}[/mm]

Also doppelte Nullstelle bei [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] oder ist das sogar eine dreifache sofern es sowas gibt?!

Was geb  ich denn jetzt als Lösungsmenge an? Da tu ich mich irgendwie immer schwer. Es war aufgrund der Erkenntnis, dass x immer positiv ist auch richtig, dass ich keine Fallunterscheidung machen muss oder?

Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
Bezug
                        
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Di 03.06.2008
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Ahh Super! Danke!
> Hab dann so weitergemacht:
>  [mm]\left| x-\sqrt{2x-1}\left|[/mm]
>  
> Aus der Gleichung geht hervor, dass immer x >= 0 gilt.

  

> [mm] (x-\sqrt{2x-1})^2=x^2 [/mm]

> [mm] x^2-2x\sqrt{2x-1}+2x-1=x^2 [/mm]

> [mm] 2x\sqrt{2x-1}=2x-1 [/mm]

> [mm] 4x^2(2x-1)=4x^2-4x+1 [/mm]

> [mm] 8x^3-4x^2=4x^2-4x+1 [/mm]

> [mm] 0=8x^3-8x^2+4x-1 [/mm] [daumenhoch]

  
> hab dann Nullstellen geraten(Teiler vom Absolutglied): [kopfkratz3]

gut geraten ;-)

>  [mm](x-\bruch{1}{2})[/mm]

  
> Dann Polynomdivision:
> [mm] 8x^3-8x^2+4x-1:(x-\bruch{1}{2})=8x^2-4x+2 [/mm] [ok]

[mm] 8x^2-4x+2=0 [/mm]

[mm] x^2-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}=0 [/mm] [ok]
  
> Dann p/q-Formel:

  
> [mm]x_1_/_2=\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}[/mm] [notok]

Das sind dann [mm] $x_{2,3}=-\frac{-\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\pm\sqrt{\underbrace{\frac{1}{16}-\frac{1}{4}}_{<0}}$ [/mm]

Also gibt's nur die eine "gut geratene" NST [mm] $x_1=\frac{1}{2}$ [/mm]

>  
> Also doppelte Nullstelle bei [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] oder ist das
> sogar eine dreifache sofern es sowas gibt?!

Das gibt's alles, hier ist [mm] $x_1=\frac{1}{2}$ [/mm] aber nur einfache NST

>  
> Was geb  ich denn jetzt als Lösungsmenge an?

[mm] $\IL=\left\{\frac{1}{2}\right\}$ [/mm]

> Da tu ich mich
> irgendwie immer schwer. Es war aufgrund der Erkenntnis,
> dass x immer positiv ist auch richtig, dass ich keine
> Fallunterscheidung machen muss oder?

Ja

>  
> Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
>  tedd


LG

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Di 03.06.2008
Autor: tedd

Hey schachuzipus
Danke füs drüberschauen :)
Gruß,
tedd
Bezug
                        
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Di 03.06.2008
Autor: abakus


> Ahh Super! Danke!
> Hab dann so weitergemacht:
>  [mm]\left| x-\sqrt{2x-1}\left|[/mm]
>  
> Aus der Gleichung geht hervor, dass immer x >= 0 gilt.
>  
> [mm](x-\sqrt{2x-1})^2=x^2 x^2-2x\sqrt{2x-1}+2x-1=x^2 2x\sqrt{2x-1}=2x-1 4x^2(2x-1)=4x^2-4x+1 8x^3-4x^2=4x^2-4x+1 0=8x^3-8x^2+4x-1[/mm]
>  
> hab dann Nullstellen geraten(Teiler vom Absolutglied):
>  [mm](x-\bruch{1}{2})[/mm]
>  
> Dann Polynomdivision:
>  [mm]8x^3-8x^2+4x-1:(x-\bruch{1}{2})=8x^2-4x+2 8x^2-4x+2=0 x^2-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}=0[/mm]

Kleiner Schreibfehler, hier fehlt das x.

>  
> Dann p/q-Formel:
>  
> [mm]x_1_/_2=\bruch{1}{2}\pm\sqrt{\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}[/mm]

... und hier müsste es heißen:
[mm]x_1_/_2=\bruch{1}{4}\pm\sqrt{\bruch{1}{16}-\bruch{1}{4}}[/mm]
und das gibt keine weitere Lösung.
Gruß
Abakus


>  
> Also doppelte Nullstelle bei [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] oder ist das
> sogar eine dreifache sofern es sowas gibt?!
>  
> Was geb  ich denn jetzt als Lösungsmenge an? Da tu ich mich
> irgendwie immer schwer. Es war aufgrund der Erkenntnis,
> dass x immer positiv ist auch richtig, dass ich keine
> Fallunterscheidung machen muss oder?
>  
> Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
>  tedd

Bezug
                                
Bezug
Lösungen Gleichung mit Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mi 04.06.2008
Autor: tedd

Stimmt Abakus, da hatte ich ein paar Fehler gemacht, haben sich ja aber glücklicherweise nicht wirklich auf das Ergebnis ausgewirkt.

Irgendwie ist mir die Aufgabe aber immer noch nicht ganz klar,deswegen noch ein paar (hoffentlich nicht dumme) Fragen:
Ich kann ja sagen, dass x immer positiv da [mm] x=\left| ... \right| [/mm] (Wieso kann ich dann einfach quadrieren und dann sit der Betrag weg?)

Ausserdem kann ich sagen, dass x nur für alle [mm] x>=\bruch{1}{2} [/mm] definiert ist wegen der Wurzel.
Wenn ich jetzt Zahlen für [mm] x>=\bruch{1}{2} [/mm] einsetze merke ich auch, dass immer was positives im Betrag rauskommt, aber wieso kann ich mir dann die Fallunterscheidung sparen(angenommen ich kann mir durch das ausprobieren nicht 100% sicher sein müsste ich doch eine machen)?

Wenn x immer positiv ist und x >= {1}{2} kann ich doch nicht daraus schliessen, dass im Betrag auch immer was positives steht oder habe ich hier etwas nicht bedacht?

Bei dieser Aufgabe kann man natürlich sehen, dass der Betrag immer positiv ist wenn gilt [mm] x>=\bruch{1}{2} [/mm] da im Betrag nur addiert wird.

Ummm... hoffentlich keine nervigen Fragen...
Beste Grüße,
tedd
Bezug
                                        
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Lösungen Gleichung mit Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Fr 06.06.2008
Autor: Sigrid

Hallo tedd,


> Stimmt Abakus, da hatte ich ein paar Fehler gemacht, haben
> sich ja aber glücklicherweise nicht wirklich auf das
> Ergebnis ausgewirkt.
>  
> Irgendwie ist mir die Aufgabe aber immer noch nicht ganz
> klar,deswegen noch ein paar (hoffentlich nicht dumme)
> Fragen:
>  Ich kann ja sagen, dass x immer positiv da [mm]x=\left| ... \right|[/mm]
> (Wieso kann ich dann einfach quadrieren und dann sit der
> Betrag weg?)

Weil das Quadrat von zwei Zahlen, die sich nur durchs Vorzeichen unterscheiden, gleich ist. Es kann allerdings passieren, dass Du durch das Quadrieren zusätzliche "Lösungen" bekommst. Du musst also für Deine errechnete Lösung immer eine Probe machen.
>  
> Ausserdem kann ich sagen, dass x nur für alle
> [mm]x>=\bruch{1}{2}[/mm] definiert ist wegen der Wurzel.
>  Wenn ich jetzt Zahlen für [mm]x>=\bruch{1}{2}[/mm] einsetze merke
> ich auch, dass immer was positives im Betrag rauskommt,
> aber wieso kann ich mir dann die Fallunterscheidung
> sparen(angenommen ich kann mir durch das ausprobieren nicht
> 100% sicher sein müsste ich doch eine machen)?

Hier nicht. Da Du wegen der Wurzel in jedem Fall quadrieren musst, führen beide Fälle zu derselben Gleichung. Du musst nur, wie schon gesagt, die Probe machen.
>  
> Wenn x immer positiv ist und x >= {1}{2} kann ich doch
> nicht daraus schliessen, dass im Betrag auch immer was
> positives steht oder habe ich hier etwas nicht bedacht?

Das siehst Du ganz richtig.
>  
> Bei dieser Aufgabe kann
> man natürlich sehen, dass der Betrag immer positiv ist wenn
> gilt [mm]x>=\bruch{1}{2}[/mm] da im Betrag nur addiert wird.

Richtig. Solche Überlegungen vereinfachen dann die Arbeit gewaltig.
>  
> Ummm... hoffentlich keine nervigen Fragen...

Im Gegenteil!!

Gruß
Sigrid


>  Beste Grüße,
>  tedd

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