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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:43 Sa 24.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es seien f(x,y), [mm] g(x,y)\in [/mm] K[x,y] zwei Polynome vom Grad 2 über einem unendlichen Körper K.
Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
f(x,y)=g(x,y)=0
entweder höchstens 4 oder unendlich viele Lösungen in [mm] K^2 [/mm] besitzen kann.
Hinweis: Verwenden Sie rationale Parametrisierungen der Kurven zweiter Ordnung. |
Hallo Leute,
ich denke der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe hält sich in Grenzen. Trotzdem hab ich hier Probleme. Ich hab zunächst mal damit angefangen die beiden Polynome und damit auch das Gleichungssystem hinzuschreiben:
[mm] a_1x^2+b_1xy+c_1y^2+d_1x+e_1y+f_1=0
[/mm]
[mm] a_2x^2+b_2xy+c_2y^2+d_2x+e_2y+f_2=0
[/mm]
Mehr kann ich allerdings nich sagen, denn ich weiß nicht wie ich hier jetzt weitermachen muss bzw. wie ich das mit den Parametrisierungen hinkriegen kann. Vielleicht kann mir ja jemand helfen das wär echt klasse. Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Sa 24.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Keiner ne Idee wie man da ran gehn könnte?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:32 Mo 26.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also ich habs nochmal probiert und bin mir jetz gar nich mal mehr so sicher dass das Gleichungssystem so aussehen muss. Könnte das vielleicht jemand bestätigen? Oder sonst irgendeinen Tipp geben? Wär echt klasse, wenn sich jemand erbarmen könnte.
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Hallo kegel,
ich weiss nicht so recht, wie der Hinweis mit der rationalen
Parametrisierung der Kurven gemeint ist, und bei dem
unendlichen Körper K stelle ich mir einfach mal [mm] \IR [/mm] vor.
Dann wären die Gleichungen $\ f(x,y)=0$ und $\ g(x,y)=0$
die Gleichungen zweier Quadriken (Kegelschnittkurven)
in der x-y-Ebene, also z.B. eine Ellipse für f und eine Hyperbel
für g.
Über solche Kurven zweiter Ordnung in der Ebene gibt
es einen wichtigen Satz: durch 5 verschiedene Punkte ist
eine solche Kurve eindeutig festgelegt.
Das kannst du da ![[]](/images/popup.gif) ausprobieren !
(oberste Zeile anklicken: Kegelschnitt aus 5 Punkten)
Mit anderen Worten: wenn zwei Quadriken in der Ebene
5 verschiedene Punkte gemeinsam haben, dann sind sie
identisch und haben damit alle unendlich vielen Punkte
gemeinsam.
Nun soll man dies allerdings beweisen. Ich denke da
z.B. daran, ob man aus den zwei Gleichungen eine
Gleichung machen könnte. Das sollte dann wohl eine
ganzrationale Gleichung (über dem Körper K) vierten
Grades für eine Unbekannte werden. Dann muss man
sich Gedanken über die Anzahl Lösungen einer sol-
chen Gleichung machen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vielen Dank ich hat schon fast die Hoffnung aufgegeben, dass sich noch jemand meldet. Hättest du ne Idee wie man aus den beiden Gleichungen eine machen kann? Ich mein ich kann beide addieren, jedoch hab ich dann immer noch zwei Unbekannte.
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> Hey vielen Dank ich hat schon fast die Hoffnung aufgegeben,
> dass sich noch jemand meldet. Hättest du ne Idee wie man
> aus den beiden Gleichungen eine machen kann? Ich mein ich
> kann beide addieren, jedoch hab ich dann immer noch zwei
> Unbekannte.
Die Gleichungen zu addieren bringt nichts.
Damit hättest du einfach einen anderen
Kegelschnitt. Man kann aber aus den zwei
Gleichungen A=0 und B=0 die neue Gleichung
[mm] A^2+B^2=0 [/mm] machen, denn es ist
$\ [mm] A=0\wedge B=0\quad\gdw\quad A^2+B^2=0$
[/mm]
Ein einfaches Beispiel mit 2 Kegelschnittgleichungen:
$\ [mm] f(x,y)=4\,x^2+9\,y^2-8\,x-32=0$ [/mm] (Ellipse)
$\ [mm] g(x,y)=2\,x^2-2\,x-y-4=0$ [/mm] (Parabel)
Aus der Kombination der Gleichungen ergibt sich
$\ [mm] \left(4\,x^2+9\,y^2-8\,x-32\right)^2+\left(2\,x^2-2\,x-y-4\right)^2=0$
[/mm]
Das gibt jetzt aber doch eine recht komplizierte
Gleichung 4.Grades in den zwei Unbekannten x,y,
und im Moment sehe ich keine elegante Möglich-
keit, damit umzugehen. :-(
Man sollte also wohl doch auf den Hinweis mit der
"rationalen Parametrisierung" eingehen !
Das kannte ich bisher so nicht, aber ihr habt wohl
darüber gesprochen, oder ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 26.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay danke, aber ja das Ganze wird dann doch arg kompliziert und artet in eine etwas größere Rechnung aus.
Zur Parametrisierung wurde nichts großartiges gesagt, wir haben lediglich die Kreisgleichung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] als Beispiel parametrisiert. Wie ich das auf die Aufgabe anwenden kann ist mir nicht klar und da liegt eben das Problem. Wenn ich zumindest eine konkrete Gleichung für f(x,y) bzw. g(x,y) hätte, käme mir vielleicht eine Idee. Aber so bin ich ers mal überfragt. Also wenn jemand Erfahrung mit solchen Parametrisierungen hat wärs toll, wenn er diese mit mir teilen würde.
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Hallo kegel53,
verzweifle nicht.
Du findest z.B. mit der google-Anfrage Parametrisierung Kegelschnitte allerlei, darunter diese ganz taugliche Darstellung.
Mit google-Suche nach Parametrisierung Quadriken findest Du manches Bessere, darunter drei wiki-Seiten zum Thema, die ich dieser Reihenfolge lesen würde:
eins, zwei und erst dann die entscheidende Seite drei.
Hilft Dir das weiter?
Ansonsten versuch mal ohne Parametrisierung zu zeigen, dass sich zwei Kegelschnitte in höchstens vier Punkten schneiden können (also 0,1,2,3,4) - oder sonst identisch sind.
Das geht z.B. über lineare (sic!) Gleichungssysteme, auch ohne Parametrisierung. Nimm doch mal k Punkte mit den Koordinaten [mm] (x_1,y_1) [/mm] ... [mm] (x_k,y_k) [/mm] an, die jeweils auf beiden vorliegenden (aber noch beliebigen) Quadriken liegen. Es fällt leichter zu denken, wenn Du die [mm] x_i,y_i [/mm] als Parameter begreifst und a,b,c,d,e bzw. [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon [/mm] als Variable.
Grüße
reverend
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> Ansonsten versuch mal ohne Parametrisierung zu zeigen, dass
> sich zwei Kegelschnitte in höchstens vier Punkten
> schneiden können (also 0,1,2,3,4) - oder sonst identisch
> sind.
Hallo reverend,
ich verstehe deine Nummerierung (0,1,2,3,4) für vier
Punkte nicht recht - das wären ja 5 Nummern für 4 Punkte ?
In der Kegelschnittgleichung
[mm] a\,x^2+b\,x\,y+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0
[/mm]
stehen zwar 6 Parameter; weil man aber die Gleichung
mit einem beliebigen Faktor [mm] k\not=0 [/mm] erweitern kann, sind
es nur 5 unabhängige Parameter. Fünf Punkte (in genügend
allgemeiner Lage: es müssen verschiedene Punkte sein)
reichen aus, um zu einem eindeutig lösbaren Gleichungs-
system zu kommen - in diesem Fall bleibt keine Variations-
möglichkeit mehr für die Kurve.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mo 26.10.2009 | | Autor: | reverend |
Salaam Al,
das waren keine Ordinal-, sondern Kardinalzahlen.
Es gibt sechs Möglichkeiten für die beiden Kurven:
1. Sie haben keinen Schnittpunkt (=0 gemeinsame Punkte).
2. Sie haben einen Schnittpunkt (=1 gemeinsamer Punkt).
3. Sie haben zwei Schnittpunkte (=2 gemeinsame Punkte).
4. Sie haben drei Schnittpunkte (=3 gemeinsame Punkte).
5. Sie haben vier Schnittpunkte (=4 gemeinsame Punkte).
6. Sie sind identisch (=unendlich viele gemeinsame Punkte).
Ça y est - et c'est tout.
révérend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 26.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass das Kegelschnitte sind ist klar. dann kann ich sie auch linear transformieren, wenigstens einen. dass sich 2 Kegelschnitte in hoechstens 4 Punkten schneiden koennen kann man leicht nachrechnen. an der anzahl der Schnitt punkte koennen lineare Abb. nichts aendern. die "normalen" kegelschnitte kann man auch leicht parametrisieren.
Gruss leduart
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أنا أفهم.
آسف ، وجيدة ليلة!
capito.
scusi, e buona notte !
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 26.10.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey reverend, also vielen Dank für den Beitrag. Ich werd mich nochmal dran setzen und vielleicht morgen mal meinen Tutor befragen, falls es nicht hinhaut. Dann wirds schon klappen :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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