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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 02.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen für $z$ von folgenden komplexen Gleichungen:
$a) [mm] z=\wurzel[4]{-4+3i}$ [/mm] $b) z=ln(-2)$
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Leider habe ich keinen Schimmer wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Nach z ist es doch schon aufgelöst?!
Was genau muss ich denn machen und was genau ist mit Lösungen gemeint?
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Hallo bOernY,
Aufgabe a) hat vier Lösungen (Tipp: Moivre-Formel), Aufgabe b) unendlich viele (schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier).
Du sollst eben alle Lösungen angeben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 02.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Danke für die Tipps!
Ich habe es jetzt mal ausgerechnet und würde mich freuen, wenn mal jemand drübergucken könnte, ob es richtig ist.
zu a)
[mm] $z=\wurzel[4]{-4+3i}$
[/mm]
[mm] $z^4=-4+3i$
[/mm]
$n=4$
$r=5$
[mm] $\varphi=2,5$
[/mm]
[mm] $z_k [/mm] = [mm] \wurzel[4]{5}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{2,5+k\cdot{}2\pi}{4}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{2,5+k\cdot{}2\pi}{4}\right)\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
[mm] $z_0=1,21 [/mm] + 0,87i$
[mm] $z_1=-0,87 [/mm] + 1,21i$
[mm] $z_2=-1,21 [/mm] - 0,87i$
[mm] $z_3=0,87 [/mm] - 1,21i$
zu b)
$z=ln(-2)$
$r=2$
[mm] $\varphi=\pi$
[/mm]
[mm] $z=ln(-2)=ln(2*e^{i\pi})$
[/mm]
[mm] $z_k=ln(2)+i(\pi+k*2\pi)$
[/mm]
Hauptwert (k=0)
[mm] $z_H=ln(2)+i(\pi+0*2\pi)$
[/mm]
[mm] $z_H=0,69+i\pi$
[/mm]
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Hallo bOernY,
> Danke für die Tipps!
> Ich habe es jetzt mal ausgerechnet und würde mich freuen,
> wenn mal jemand drübergucken könnte, ob es richtig ist.
>
> zu a)
>
> [mm]z=\wurzel[4]{-4+3i}[/mm]
> [mm]z^4=-4+3i[/mm]
>
> [mm]n=4[/mm]
> [mm]r=5[/mm]
> [mm]\varphi=2,5[/mm]
Rechne hier lieber mit den exakten Werten.
Rundest Du hier führt das im Ergebnis zu Rechenfehlern.
Das Endergebnis kannst Du dann z.B.,
wie hier, auf 2 Dezimalstellen angeben.
>
> [mm]z_k = \wurzel[4]{5}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{2,5+k\cdot{}2\pi}{4}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{2,5+k\cdot{}2\pi}{4}\right)\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]
>
> [mm]z_0=1,21 + 0,87i[/mm]
> [mm]z_1=-0,87 + 1,21i[/mm]
> [mm]z_2=-1,21 - 0,87i[/mm]
>
> [mm]z_3=0,87 - 1,21i[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> [mm]z=ln(-2)[/mm]
> [mm]r=2[/mm]
> [mm]\varphi=\pi[/mm]
>
> [mm]z=ln(-2)=ln(2*e^{i\pi})[/mm]
> [mm]z_k=ln(2)+i(\pi+k*2\pi)[/mm]
>
> Hauptwert (k=0)
>
> [mm]z_H=ln(2)+i(\pi+0*2\pi)[/mm]
> [mm]z_H=0,69+i\pi[/mm]
Auch das ist richtig.
Gruss
MathePower
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