Lösungen von Gleichungen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Wieviele Lösungen haben die folgenden Gleichungen:
(i) [mm] x^{2} [/mm] + 1 = 0, x [mm] \in \IR,
[/mm]
(ii) [mm] z^{2} [/mm] + 1 = 0, z [mm] \in \IC,
[/mm]
(iii) [mm] z^{n} [/mm] = [mm] \omega, [/mm] z, [mm] \omega \in \IC [/mm] |
Hallo,
also (i) und (ii) hätte ich so gelöst:
(i) [mm] x^{2} [/mm] + 1 = 0
[mm] \gdw x^{2} [/mm] = -1
[mm] \gdw [/mm] x = [mm] \wurzel{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IL [/mm] = {}, da x [mm] \in \IR
[/mm]
(ii) [mm] z^{2} [/mm] + 1 = 0
[mm] \gdw z^{2} [/mm] = -1
[mm] \gdw [/mm] z = i
[mm] \Rightarrow \IL [/mm] = {i}, da z [mm] \in \IC
[/mm]
(iii) [mm] z^{n} [/mm] = [mm] \omega
[/mm]
da habe ich jetzt die Regel für das ziehen der n-ten Wurzel benutzt,
welche mit der Formel von Moivre arbeitet.
[mm] \Rightarrow r^{n}(cos(n\alpha) [/mm] + [mm] sin(n\alpha)i) [/mm] = [mm] R(cos(\beta) [/mm] + [mm] sin(\beta)i)
[/mm]
[mm] \gdw z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{R}(cos(\beta_{k}) [/mm] + [mm] sin(\beta_{k})i), [/mm] k [mm] \in \IZ
[/mm]
Stimmt das soweit?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wieviele Lösungen haben die folgenden Gleichungen:
>
> (i) [mm]x^{2}[/mm] + 1 = 0, x [mm]\in \IR,[/mm]
> (ii) [mm]z^{2}[/mm] + 1 = 0, z [mm]\in \IC,[/mm]
>
> (iii) [mm]z^{n}[/mm] = [mm]\omega,[/mm] z, [mm]\omega \in \IC[/mm]
> Hallo,
>
> also (i) und (ii) hätte ich so gelöst:
>
> (i) [mm]x^{2}[/mm] + 1 = 0
> [mm]\gdw x^{2}[/mm] = -1
> [mm]\gdw[/mm] x = [mm]\wurzel{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IL[/mm] = {}, da x [mm]\in \IR[/mm]
O.K.
>
> (ii) [mm]z^{2}[/mm] + 1 = 0
> [mm]\gdw z^{2}[/mm] = -1
> [mm]\gdw[/mm] z = i
Nein. Sondern: [mm] \gdw [/mm] z=i oder z=-i
>
> [mm]\Rightarrow \IL[/mm] = {i}, da z [mm]\in \IC[/mm]
Nein. Sondern:
[mm] \IL [/mm] = {i, -i}
>
> (iii) [mm]z^{n}[/mm] = [mm]\omega[/mm]
> da habe ich jetzt die Regel für das ziehen der n-ten
> Wurzel benutzt,
> welche mit der Formel von Moivre arbeitet.
>
> [mm]\Rightarrow r^{n}(cos(n\alpha)[/mm] + [mm]sin(n\alpha)i)[/mm] =
> [mm]R(cos(\beta)[/mm] + [mm]sin(\beta)i)[/mm]
> [mm]\gdw z_{k}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{R}(cos(\beta_{k})[/mm] +
> [mm]sin(\beta_{k})i),[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm]
Das stimmt so nicht. Schau mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)
unter "Wurzeln aus komplexen Zahlen"
FRED
>
> Stimmt das soweit?
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:24 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, aber wenn ich noch zu (iii) schreibe, dass
r = [mm] \wurzel[n]{R} [/mm] und [mm] \beta_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha + 2k\pi}{n}, [/mm] da [mm] z^{n} [/mm] = [mm] \omega [/mm] bedeutet, dass die
beiden komplexen Zahlen gleich sind und somit ihr
Beträge und ihre Winkel (bis auf ein Vielfaches von [mm] 2\pi) [/mm]
gleich sind. Würde es dann richtig sein? Ich meine
dann könnte ich doch meine Formel für [mm] z_{k} [/mm] umschreiben
von der Polarkoordinatendarstellung in die Eulerform
und dann habe ich das gleiche wie in deinem Link beschrieben.
Ich sehe grade, ich habe in meinem ersten Beitrag [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] verwechselt.
Also in der Gleichung (iii) muss man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] austauschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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