Lösungen von a²+c² = a * c < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Test123 |
Hallo,
ich habe ein rechtwinkliges Dreieck mit den zwei Katheten a und c und der Hypotenuse b.
Jetzt muss ich [mm] \frac{a \cdot c}{b²} [/mm] = 1 beweisen.
Ich dachte mir, dass dies nur eins ergibt, wenn a [mm] \cdot [/mm] c = b² ist und b² ist ja auch a² + c² wg. des Satzes des Pythogoras.
Nun aber, wie beweise ich, dass es bei der Gleichung a² + c² = a [mm] \cdot [/mm] c nur eine Lösung (und zwar a=0, c=0) gibt?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Test123, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich habe ein rechtwinkliges Dreieck mit den zwei Katheten a
> und c und der Hypotenuse b.
> Jetzt muss ich [mm]\frac{a \cdot c}{b²}[/mm] = 1 beweisen.
Beweisen? Gib mal die ganze Aufgabe wieder.
Ich sags mal so: im allgemeinen gilt das nicht.
Nimm mal das Standard-Dreieck unter den rechtwinkligen: Katheten mit der Länge 3 und 4, Hypotenuse 5.
Ich nehme eher an, Du sollst die Gleichung widerlegen, oder?
> Ich dachte mir, dass dies nur eins ergibt, wenn a [mm]\cdot[/mm] c =
> b² ist und b² ist ja auch a² + c² wg. des Satzes des
> Pythogoras.
Ja, ok.
> Nun aber, wie beweise ich, dass es bei der Gleichung a² +
> c² = a [mm]\cdot[/mm] c nur eine Lösung (und zwar a=0, c=0) gibt?
Es gilt [mm] a^2\ge0 [/mm] und [mm] c^2\ge0.
[/mm]
Da die Gleichung "symmetrisch" ist, man also a und c vertauschen kann und immer noch die gleiche Gleichung hat, darf man einfach annehmen, dass [mm] a\le{c} [/mm] ist.
Dann ist [mm] a*c\le c^2\le c^2+a^2.
[/mm]
Nun kannst Du folgern, dass a=c sein muss. Setzen wir das ein, haben wir: [mm] 2a^2=a^2, [/mm] und diese Gleichung ist nur für a=0 richtig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Test123 |
Hallo reverend,
Danke für die Antwort und den Willkommensgruß!
Erstmal tut es mir leid: ich hatte ein Quadrat (bzw. euer System, siehe PS) vergessen gehabt, es müsste
[mm] \frac{a \cdot c}{b^2}
[/mm]
heißen.
Im Prinzip ist die Aufgabe größer und diesen Beweis (bzw. Widerleg) bräuche ich dafür.
Wie kommst du allerdings auf folgendes?
> Nun kannst Du folgern, dass a=c sein muss.
PS: Das Quadrat (²) auf der Tastatur wird in Formeln nicht dargestellt, stattdessen muss man ^ 2 schreiben.
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Hallo,
wie wäre es einfach mit 2ac auf beiden Seiten subtrahieren:
[mm] a^2 [/mm] -2ac [mm] +c^2 =(a-c)^2= [/mm] -ac
Da a,b,c positiv und die linke Seite offensichtlich auch, muss also a oder c gleich Null sein. Ist eine gleich Null, dann folgt zwangsläufig auch a=c=0, da ja a oder c Null war.
Mit freundlichem Gruß,
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:07 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] o=a^2-ac+c^2=a^2-2ac+c^2+ac=(a-c)^2+ac
[/mm]
Da ac [mm] \ge [/mm] 0, steht oben, dass die Summe zweier nichtnegativer Zahlen =0 ist.
Dann muß jeder Summand =0 sein, also a=c und ac=0. Das liefert a=c=0
FRED
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