Lösungen von diffgleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 04.12.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | | finde Lösungen zu [mm] p''-\lambda*p [/mm] = 0 |
hi.. ich habe einige kleine verstaendnisfragen.. (gross- kleinschreibung geht auf meinem laptop leider nicht mehr =s). wir haben bei dieser aufgabe eine fallunterscheidung gemacht, 1. [mm] \lambda [/mm] = 0 ud 2. [mm] \lambda \not= [/mm] 0. den ersten fall konnte ich noch gut nachvollziehen, aber beim zweiten habe ich etwas probleme.. [mm] \lambda \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] t^{2} [/mm] (und schon die erste frage =) wieso ist dies so? und wie komme ich darauf, dass t und -t verschieden sind?) daraus folgern wir, dass die diffgleichung die beiden Lösungen [mm] e^{tx}, e^{-tx} [/mm] hat. leider verstehe ich ueberhaupt nicht wie ich drauf kommen soll hier die exponetialfunktion als loesung zu nehmen.. na ja ich bin etwas ueberfordert... waere darum sehr froh um tipps. vielen lieben dank mel
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Hallo Meli90,
bei deiner DGL handelt es sich um eine ganz einfache lineare DGL mit konstanten Koeefizienten. Hier gehst du folgendermaßen vor:
1. Bestimme das charakteristische Polynom der Gleichung, ist bei dir [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0.
2. Bestimme die Nullstellen des char. Polynoms, bei dir [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda} [/mm] bzw. wenn [mm] \lambda [/mm] = [mm] t^2 [/mm] sind die Nullstellen -t und t.
3. Man kann zeigen, schau am besten Mal in dein Lehrbuch, dass die Lösungen für solche DGL gegeben werden durch [mm] e^{x_{0}*x} [/mm] (zumindest, wenn die Nullstelle nur einmal im charakteristischen Polynom vorkommt, was bei dir der Fall ist), also insgesamt [mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{tx} [/mm] und [mm] y_{2}(x) [/mm] = [mm] e^{-tx}.
[/mm]
Das einzige was mir unklar in deiner Darstellung bleibt, ist [mm] \lambda [/mm] = [mm] t^{2}. [/mm] Habt Ihr das einfach vorrausgesetzt bzw. habt ihr irgendwelche anderen Vorraussetzungen gemacht, wworaus man das schlussfolgern kann? Schau vielleicht nochmal auf deinen Zettel.
Ich hoffe das hilft,
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Meli90 |
Guten Abend!
Erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Antwort..
Ja ich habe leider noch etwas Probleme mich an die Differentialgleichungen zu gewöhnen, muss den Umgang noch etwas üben =)
Die Anleitung wie ich das lösen kann ist sehr nett, danke. Nur weiss ich nicht genau: wie findet man das charakteristische Polynom einer Differentialgleichung? Bei Matrizen ist es mir klar:
[mm] det(A-\mu*E) [/mm] also vermute ich [mm] f-\lambda*e [/mm] = [mm] (p''-\lambda*p) [/mm] - mu*e oder so was? Leider ergibt das für mich wenig Sinn.. :s
Danach wenn ich das charakteristische Polynom mal habe, ist die Sache klar, und ich gehe davon aus, dass wir das wirklich einfach nur mal so definiert haben, dass [mm] t^{2}=\lambda. [/mm] Eine andere Erklärung habe ich aus meinen Unterlagen nicht gefunden..
Oder hat da jemand eine Idee?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe, Mel!
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Hallo Meli,
ein anderes Beispiel: ay''' + b'' + cy' + dy = 0, dann ist das cP = [mm] a\lambda^{3} [/mm] + [mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] c\lambda [/mm] + d. Regel: für [mm] ay^{(n)} [/mm] + [mm] by^{(n-1)} [/mm] + ... + dy gilt cP = [mm] a\lambda^{n} [/mm] + .... + d, man nimmt also die Stufe der Ableitung in die Potenz und beim letzten (also dy) nur den Faktor d. OK? (Beachte aber das das nur bei konstanten Koeffizienten geht!, [mm] \lambda [/mm] steht jetzt hier mal für die xse im cP, obwohl es mit der Notation in deiner aufgabe konfligiert). Zur Herleitung: Die Formel ergibt sich tatsächlich aus einer Matrix (deshalb auch charakteristisches Polynom), da du jede n-dimensionale lineare DGL auf ein System erster Ordnung zurückführen kannst (man kriegt dann einen Ausdruck y' + Ay = 0) und um diese Dinger zu lösen, bestimmt man die Eigenwerte von A und dadurch die Jordannormalform bzw. eine Diagonalmatrix (man hat hier praktisch eine Vereinigung von Analysis und linearer Algebra). Bei konstanten Koeefizienten kann man beweisen, dass das cP sich einfach wie oben bestimmen lässt und die Lösungen wie von mir angegeben sind.
Zu deinem t: Tatsächlich müsst ihr das vorrausgesetzt haben, denn wenn dem nicht so wäre müsstest du noch eine Fallunterscheidung < 0 und > 0 machen (wobei du beim Letzten ins komplexe wechselst).
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 Do 06.12.2007 | | Autor: | Meli90 |
Morgen :)
Vielen lieben Dank!! Ja ich habe in meinen Unterlagen gesehen, dass wir auch mal eine n-dimensionale lineare DGL auf ein System erster Ordnung zurückführt haben.. Nur war da nie die Rede vom charakteristischen Polynom.. Aber so ist mir das klar. Vielen lieben Dank.
Zum ominösen t nochmals =)
Nehme an die Fallunterscheidung fällt weg, da wir uns nur für die reellen Lösungen interessieren (wollen ein physikalisches Phänomen beschreiben). War wohl nicht ganz so korrekt aufgeschrieben, sondern etwas abgekürzt.
Also herzlichen Dank für deine Geduld, mal schauen ob ich s nun begriffen habe, oder ob ich mich nochmals melden muss ;)
Grüssle Mel
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