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| Aufgabe | Sei [mm] L\subseteq\IR^n (n\in \IN^+) [/mm] Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems in n Unbestimmten mit reellen Koeffizienten. Weiter seien [mm] x_{0};... [/mm] ; [mm] x_{p} \in [/mm] L (p [mm] \in \IN).
[/mm]
Zeigen Sie { [mm] \summe_{k=0}^{p} s_{k} x_{k} [/mm] | [mm] s_{0},...,s_{p} \in \IR, \summe_{k=1}^{p} s_{k}=1 [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] L |
Meine Frage wäre, ausgehend davon, dass das Lineare Gleichungssystem die Form des allgemeinen Linearen Gleichungssystems hat, wie ich hier rangehen muss. Was genau muss ich hier beweisen, denn die Summenzeichen verwirren mich immer?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mi 09.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]L\subseteq\IR^n (n\in \IN^+)[/mm] Lösungsmenge eines
> linearen Gleichungssystems in n Unbestimmten mit reellen
> Koeffizienten. Weiter seien [mm]x_{0};...[/mm] ; [mm]x_{p} \in[/mm] L (p [mm]\in \IN).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Zeigen Sie { [mm]\summe_{k=0}^{p} s_{k} x_{k}[/mm] | [mm]s_{0},...,s_{p} \in \IR, \summe_{k=1}^{p} s_{k}=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } [mm]\subseteq[/mm] L
> Meine Frage wäre, ausgehend davon, dass das Lineare
> Gleichungssystem die Form des allgemeinen Linearen
> Gleichungssystems hat, wie ich hier rangehen muss. Was
> genau muss ich hier beweisen, denn die Summenzeichen
> verwirren mich immer?
1. [mm] \summe_{k=0}^{p}y_k [/mm] = [mm] y_0+y_1+...+y_p
[/mm]
2. Zur Aufgabe: Das LGS kann kurz so geschrieben werden:
(*) Ax=b,
wobei A eine mxn - Matrix ist und b [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Gegeben hat Du p+1 Lösungen [mm] x_0,...,x_p [/mm] von (*) und reelle Zahlen [mm] s_0,...,s_p [/mm] mit [mm] \summe_{k=1}^{p} s_{k}=1.
[/mm]
Setzt Du nun
$x:= [mm] \summe_{k=0}^{p} s_{k} x_{k} [/mm] $,
so sollst Du zeigen, dass dieses x ebenfalls eine Lösung von (*) ist.
FRED
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke erstmal für die Hilfe, so langsam glaube ich weiß ich wo ich hin muss. Könntest Du mir vielleicht aber noch sagen, welcher der erste Schritt ist?
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> Danke erstmal für die Hilfe, so langsam glaube ich weiß
> ich wo ich hin muss. Könntest Du mir vielleicht aber noch
> sagen, welcher der erste Schritt ist?
Hallo,
Schritte würden wir am liebsten von Dir sehen...
Sagen wir, L ist die Lösungsmenge des LGS Ax=b.
Was bedeutet denn die Voraussetzung, daß [mm] x_0,...,x_p [/mm] aus L sind?
Und dann könntest Du doch zumindest mal aufschreiben, was genau Du zeigen mußt.
Wenn Du dies getan hast, bist Du der Lösung der Aufgabe bereits ziemlich nahe.
Gruß v. Angela
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Mal ganz blöd gefragt, weil ich glaube, so etwas wie eine Erleuchtung gehabt zu haben.
Läuft es darauf hinaus, dass ich zeigen soll, dass die gegeben Lösungen, multipliziert mit den reellen Zahlen [mm] s_0,...,s_p [/mm] auch Lösungen sind, weil durch die Multiplikation, die Lösungen ja äquivalent bleiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Mal ganz blöd gefragt, weil ich glaube, so etwas wie eine
> Erleuchtung gehabt zu haben.
> Läuft es darauf hinaus, dass ich zeigen soll, dass die
> gegeben Lösungen, multipliziert mit den reellen Zahlen
> [mm]s_0,...,s_p[/mm] auch Lösungen sind, weil durch die
> Multiplikation, die Lösungen ja äquivalent bleiben?
Du sollst zeigen, dass für
$ x:= [mm] \summe_{k=0}^{p} s_{k} x_{k} [/mm] $
mit der Eigenschaft [mm] \summe_{k=0}^{p} s_{k} [/mm] = gilt:
Ax=b.
Dabei ist, vorausgesetzt, dass [mm] Ax_k=b [/mm] gilt für k=0,...,p.
FRED
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