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| Aufgabe | Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die Lösungsmenge für [mm]z \in \IC[/mm]?
[mm]z(\overline{z}-1) = 9+3i[/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe wieder mal ein Problem, bei den ich echt keinen Ansatz finde.
Das Problem ist hier das [mm]\overline{z}[/mm]. Ich weiß nicht so recht, wie ich damit umgehen soll. Normalerweise hätte ich jetzt einfach die Klammer aufgelöst und dann versucht, den Term so umzustellen, dass ich die PQ-Formel anwenden kann.
Wenn ich das richtig verstehe, ergibt auch [mm]z(\overline{z}-1)[/mm] ja [mm]z*\overline{z} - z[/mm] und [mm]z*\overline{z}[/mm] kann ich zu [mm]|z|^2[/mm] umschreiben.
Dann habe ich einfach mal angenommen das [mm]|z|^2 = z^2[/mm] ist, wodurch ich dann die PQ-Formel anwenden könnte:
[mm]z_{1} = -\bruch{-1}{2} + \wurzel{(\bruch{-1}{2})^2 - (-9-3i)}[/mm]
[mm]z_{1} = \bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{4} + 9+3i}[/mm]
[mm]z_{1} = \bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{37}{4}+3i}[/mm]
Naja und ab hier weiß ich dann nicht weiter. Bin mir jetzt ziemlich unsicher, ob ich überhaupt das so machen darf.
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Hi!
> Wie lautet jeweils zu der angegebenen Gleichung die
> Lösungsmenge für [mm]z \in \IC[/mm]?
> [mm]z(\overline{z}-1) = 9+3i[/mm]
> Wenn ich das richtig verstehe, ergibt auch
> [mm]z(\overline{z}-1)[/mm] ja [mm]z*\overline{z} - z[/mm] und [mm]z*\overline{z}[/mm]
> kann ich zu [mm]|z|^2[/mm] umschreiben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich einfach mal angenommen das [mm]|z|^2 = z^2[/mm] ist,
> wodurch ich dann die PQ-Formel anwenden könnte:
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist falsch.
Im Folgenden gehe ich von einer komplexen Zahl der allgemeinen Form $z=x+iy$ aus.
Es gilt:
[mm] $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
und somit:
[mm] $|z|^2=x^2+y^2$
[/mm]
Schreibe dir $z$ einmal als $z=x+iy$ und sieh dir die Koeffizienten an.
Valerie
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Hallo!
Hm, so ganz weiß ich nicht worauf du hinaus möchtest.
Wenn ich [mm]z = x+iy[/mm] betrachte und meine Gleichung, fällt mir ehrlich gesagt nichts ein.
[mm](\wurzel{x^2+y^2})^2 - (x+iy) = 9+3i[/mm]
[mm]x^2+y^2 - x -iy = 9+3i[/mm]
Mir fällt da nur ausklammern ein:
[mm]x*(x-1)+y*(y-i) = 9+3i[/mm]
Allerdings hilft mir das ja nicht weiter (oder zumindest wüsste ich nicht wie).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Hm, so ganz weiß ich nicht worauf du hinaus möchtest.
> Wenn ich [mm]z = x+iy[/mm] betrachte und meine Gleichung, fällt
> mir ehrlich gesagt nichts ein.
>
> [mm](\wurzel{x^2+y^2})^2 - (x+iy) = 9+3i[/mm]
> [mm]x^2+y^2 - x -iy = 9+3i[/mm]
>
> Mir fällt da nur ausklammern ein:
> [mm]x*(x-1)+y*(y-i) = 9+3i[/mm]
> Allerdings hilft mir das ja nicht
> weiter (oder zumindest wüsste ich nicht wie).
das war doch soweit okay:
[mm] $$z(\overline{z}-1)=9+3i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw |z|^2-z=9+3i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2+y^2-x-i*y=9+3i\,.$$
[/mm]
Das Ausklammern ist nicht das, was Dir direkt was bringt. Du siehst gerade
den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr - alles so Komplex hier, ne? 
Also: Ich rechne mal weiter:
[mm] $$x^2+y^2-x-i*y=9+3i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x^2+y^2-x-9)+i*(-y-3)=0\,.$$
[/mm]
Linkerhand steht die komplexe Zahl [mm] $c:=(x^2+y^2-x-9)+i*(-y-3)\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $\text{Re}(c)=x^2+y^2-x-9$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(c)=-y-3\,.$ [/mm] Rechterhand die
[mm] $0\,$ [/mm] kannst Du auch schreiben als [mm] $\red{\mathbf{0}}+i*\blue{\mathbf{0}}\,,$ [/mm] und zwei komplexe Zahlen
stimmen genau dann überein, wenn sie sowohl im Realteil als auch im
Imaginärteil übereinstimmen.
Aus [mm] $\text{Re}(c)=\red{\mathbf{0}}$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(c)=\blue{\mathbf{0}}$ [/mm] folgen also die beiden Gleichungen...
P.S.
Beachte, dass Du gerade notwendige Bedingungen an [mm] $x,y\,$ [/mm] berechnest.
(D.h. Du sagst, wenn [mm] $z(\overline{z}-1)=9+3i$ [/mm] gilt, dann müssen
folgende Bedingungen an [mm] $x,y\,$ [/mm] erfüllt sein...)
Du solltest also auch prüfen, ob diese auch hinreichend sind.
(Bsp.: Nimmst Du $x [mm] \ge [/mm] 0$ an, so kann man bei der Gleichung [mm] $x^2-4=0$
[/mm]
durch Umschreiben zu [mm] $(x+2)*(x-2)=0\,$ [/mm] sehen, dass notwendigerweise
$x=2$ oder [mm] $x=-2\,$ [/mm] sein muss. Natürlich erfüllen beide Zahlen die
Gleichung [mm] $x^2-4=0\,,$ [/mm] aber nur die [mm] $2\,$ [/mm] ist auch [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] Daher ist die
in der Schule verbreitete Aussage: "Quadrieren ist keine
Äquivalenzumformung" eigentlich mit Vorsicht zu genießen:
Wenn ich allgemein nur voraussetze, dass $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist, so gilt natürlich
$$x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4\,,$$
[/mm]
während
[mm] $$x^2=4 \red{\;\Rightarrow x=2}$$
[/mm]
falsch wäre - man könnte nur [mm] $x^2=4 \Rightarrow (x+\sqrt{4})(x-\sqrt{4})=0 \Rightarrow [/mm] (x=2 [mm] \vee [/mm] x=-2)$
folgern.
Setze ich $x [mm] \ge [/mm] 0$ voraus, so gilt in der Tat [mm] $x^2=4 \gdw x=2\,.$
[/mm]
(Und setze ich $x [mm] \le [/mm] 0$ voraus, so gilt [mm] $x^2=4 \gdw x=-2\,.$))
[/mm]
In Schulbüchern wird das oft schlecht erklärt, anstatt, dass man dort
sagt, wann und warum eine Folgerung gilt und die andere nicht, steht
da meist irgendsowas wie "Die Lösungsmenge ändert sich." Nunja:
Wenn ich eine Aufgabe in zwei nicht äquivalenten Formulierungen stelle,
kann ich i.a. auch nicht erwarten, dass da die gleichen Lösungsmengen
rauskommen - und da ändert sich dann auch keine der beiden
Lösungsmengen. Also manchmal stehen da wirklich unsinnige Formulierungen,
an denen sich über Jahre hinweg niemand stört. Obwohl es den Schülern
eigentlich die klare Sicht auf die Wahrheit verwehrt - sie werden dann
"getäuscht". Denn weil diese Formulierung damals in meinem Schulbuch
stand, habe ich über Jahre hinweg immer "nicht-Äquivalenzen" mit
"sich ändernden Lösungsmengen" assoziiert. Und das irritiert dann bei
Aussagen: Was ist da die Lösungsmenge?
Dabei heißt es nur, wenn [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] nicht äquivalente Aussagen sind,
dass eine der beiden Folgerungen $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ oder $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ NICHT gilt (es können auch beide NICHT gelten).
P.P.S.
Nochmal zur Logik oben: Wenn Du [mm] $\IL$ [/mm] als Lösungsmenge der Gleichung
[mm] $z(\overline{z}-1)=9+3i$ [/mm] definierst, dann machst Du eigentlich folgendes:
1.) Wenn Du sagst, dass $z=x+iy [mm] \in \IC$ [/mm] diese Gleichung erfülle, dann
ist das nichts anderes wie zu sagen, dass Du (irgendein) $z [mm] \in \IL$ [/mm]
hernimmst. Dann folgerst Du und bekommst am Ende irgendwelche
notwendigen Bedingungen an [mm] $z\,$ [/mm] bzw. [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,.$ [/mm] Dann weißt Du
[mm] $$\IL \subseteq \{z \in \IC: z\text{ erfüllt die Bedingungen }...\}$$
[/mm]
2.) Wenn Du nun wissen willst, wie [mm] $\IL$ [/mm] genau aussieht, so musst Du prüfen,
welche Elemente der Menge [mm] $\{z \in \IC: z\text{ erfüllt die Bedingungen }...\}$ [/mm] auch in [mm] $\IL$ [/mm] liegen.
Sind es alle, so hast Du [mm] $\{z \in \IC: z\text{ erfüllt die Bedingungen }...\}=\IL$ [/mm] gezeigt.
Wenn man irgendwo "nichtäquivalent" umgeformt hat, so wird sicher
eine der Teilmengenbeziehungen nicht gelten. Aber auch das kann man
nicht "sich ändernde Lösungsmenge" nennen!
Achja, nochmal ergänzend:
Mit dem, wie das in ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Äquivalenzumformung steht,
macht das aus der Schule gelernte doch irgendwie Sinn. Ich frage mich
dann aber nur, warum man das dort so "speziell" definiert/erklärt, und
warum man es nicht direkt mit Implikationen erläutert. Denn meiner
Meinung nach wäre das für die Schüler besser, und ich sehe auch nicht,
dass das, was in Wiki steht, für Schüler wirklich leichter verständlich sein
sollte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Sa 25.08.2012 | | Autor: | Andynator |
Ahh!
Danke, für deine ausführliche Erklärung! :)
Jetzt ist mir natürlich einiges klar (und jetzt weiß ich auch, worauf Valerie hinaus wollte). Ich muss zugeben, auf diese Betrachungsweise wäre ich alleine wohl nicht gekommen. Ergibt aber für mich (jetzt zumindest) Sinn.
Jau, danke nochmals, hab die Aufgabe (und die restlichen auch) jetzt verstanden und auch richtig gelöst, sobald man es erstmal verstanden hat, wie man das ganze Betrachten muss, ist das ganze dann doch garnicht soo schwer. :)
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