www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare GleichungssystemeLösungsmenge eines LGS in PRF
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösungsmenge eines LGS in PRF
Lösungsmenge eines LGS in PRF < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösungsmenge eines LGS in PRF: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Sa 05.07.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

[m] A * x = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 5 & 13 \\ -2 & -5 & -11 \\ \end{pmatrix} * x = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ \mu \end{pmatrix} [/m]

Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von [mm] \mu. [/mm]
Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in Punkt-Richtung-Form an und deren geometrische Form.

Hallo zusammen.

Hier meine Lösung:
Mithilfe des Gauß-Algorithmus bringe ich das Gleichungssystem auf Dreiecksform (rechts-obere Dreiecksmatrix).
Dann steht da:

[m] A * \vec x = b \gdw \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} * \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \mu + 5 \end{pmatrix} [/m]

Das Gleichungssystem hat 3 Gleichungen und 4 Unbekannte, also ist es unterbestimmt und es gibt wahrscheinlich keine eindeutige Lösung.
Nun soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] gelöst werden:

Wenn [mm] \mu \not= [/mm] -5 dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, denn dann entsteht eine Zeile, in der links vom Gleichheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage.

Wenn [mm] \mu [/mm] = -5 besitzt, dann entsteht eine ganze Nullzeile und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Man setzt [mm] \mu [/mm] = -5 und erhält:

[m] A * \vec x = b \gdw \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} * \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/m]

Kann man bei der letzten Zeile des Systems: [m]0*x_1 + 0*x_2 + 0_x_3 = 0[/m] das [mm] x_3 [/mm] bspw. als [m]x_3 = t[/m] [m](t \in \IR)[/m] deklarieren
und dann einfach wieder durch Rückwärtseinsetzen das System lösen?

Wenn das so zulässig ist, dann ist mein Lösungsvektor [m]\vec x := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5t \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix}[/m] oder in Parameter-Form bzw. Punkt-Richtung-Form
(geometrisches Objekt ist eine Gerade):

[m] g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -0.5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m]

Ist das so korrekt?

Vielen Dank für eine Antwort!

        
Bezug
Lösungsmenge eines LGS in PRF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:41 Sa 05.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem

>

> [mm][/img]

>

> Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von [mm]\mu.[/mm]
> Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in
> Punkt-Richtung-Form an und deren geometrische Form.
> Hallo zusammen.

>

> Hier meine Lösung:
> Mithilfe des Gauß-Algorithmus bringe ich das
> Gleichungssystem auf Dreiecksform (rechts-obere
> Dreiecksmatrix).
> Dann steht da:

>

> [mm][/img]

>

Soweit ist das richtig (wobei da oben wegen technischer Probleme die Matrix fehlt, aber sie steht ja in deiner Frage).

> Das Gleichungssystem hat 3 Gleichungen und 4 Unbekannte,
> also ist es unterbestimmt und es gibt wahrscheinlich keine
> eindeutige Lösung.

Nein, das siehst du falsch. Es ist ein 3x3-LGS und [mm] \mu [/mm] wird hier eher als Parameter gesehen. Sicher, man kann es auch so auffsssen wie du es getan hast, aber das ist m.A. nicht im Sinne der Aufgabenstellung.

> Nun soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von [mm]\mu[/mm]
> gelöst werden:

>

> Wenn [mm]\mu \not=[/mm] -5 dann besitzt das Gleichungssystem keine
> Lösung, denn dann entsteht eine Zeile, in der links vom
> Gleichheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl
> ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage.

Das ist richtig. [ok]

>

> Wenn [mm]\mu[/mm] = -5 besitzt, dann entsteht eine ganze Nullzeile
> und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

>

> Man setzt [mm]\mu[/mm] = -5 und erhält:

>

> [mm][/img]

>

> Kann man bei der letzten Zeile des Systems: [mm]0*x_1 + 0*x_2 + 0_x_3 = 0[/mm]
> das [mm]x_3[/mm] bspw. als [mm]x_3 = t[/mm] [mm](t \in \IR)[/mm] deklarieren
> und dann einfach wieder durch Rückwärtseinsetzen das
> System lösen?

>

> Wenn das so zulässig ist, dann ist mein Lösungsvektor
> [mm]\vec x := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5t \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> oder in Parameter-Form bzw. Punkt-Richtung-Form
> (geometrisches Objekt ist eine Gerade):

>

> [mm]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -0.5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

>

> Ist das so korrekt?

Ich weiß nicht, ob du dich da nicht einfach vertippt hast. Ich erhalte nämlich (auche auch auf die Schreibweise!):

g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\1\\0}+t*\vektor{-1/2\\-2\\1} [/mm]


Gruß, Diophant

 

Bezug
                
Bezug
Lösungsmenge eines LGS in PRF: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:53 Sa 05.07.2014
Autor: gummibaum

Hi. Ich habe mich tatsächlich vertippt! ;)
Vielen Dank, dann weiß ich Bescheid...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]