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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Lösungsmengen bestimmen
Lösungsmengen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösungsmengen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Sa 30.01.2010
Autor: johnyan

Aufgabe
a) [mm] M_1 [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] | |z + i| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }

b) [mm] M_2 [/mm] = {z [mm] \in \IC [/mm] |  | [mm] \bruch{Re(z)}{2} [/mm] | [mm] \le \bruch{Im(z)}{4} [/mm] }

c) (z + [mm] \bruch{1}{i})*(z^3 [/mm] + 1) = 0

ich hab die musterlösung, aber ich weiß nicht so genau, wie man daraufkommt, deshalb bitte ich hier um eine erklärung.

a) [mm] M_1 [/mm] ist die Menge aller Punkte im Innern des Kreises um −i mit dem Radius 1/2 (ohne den Rand)

b) [mm] M_2 [/mm] ist der Bereich zwischen den Geraden y = −2x und y = 2x oberhalb der x-Achse (Geraden mit eingeschlossen).

c) ich habe [mm] z_1=i [/mm] und [mm] z_2=-1, [/mm] es sind noch 2 weitere Lösungen, bei denen ich nicht weiß, wie sie zustande kommen.
[mm] z_3=cos(\pi/3)+isin(\pi/3)=0,5+i0,5*\wurzel(3) [/mm]
[mm] z_3=cos(5\pi/3)+isin(5\pi/3)=0,5-i0,5*\wurzel(3) [/mm]

        
Bezug
Lösungsmengen bestimmen: zu Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 So 31.01.2010
Autor: Loddar

Hallo johnyan!


Sei $z \ := \ x+i*y$ , dann gilt:
$$|z+i| \ = \ |x+i*y+i| \ = \ |x+i*(y+1)| \ = \ [mm] \wurzel{x^2+(y+1)^2}$$ [/mm]

Es ergibt sich also folgende zu lösende Ungleichung:
[mm] $$\wurzel{x^2+(y+1)^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{2}$$ [/mm]
Durch Quadrieren erhält man eine Kreisgleichung.


Gruß
Loddar


Bezug
        
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Lösungsmengen bestimmen: zu Aufgabe b
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 So 31.01.2010
Autor: ullim

Hi,

sei z:=x+iy   also


Re(z)=x   und Im(z)=y  dann folgt aus der Voraussetzung

[mm] 2*|x|\le{y} [/mm]  Also

I)   [mm] 2*x\le{y} [/mm]    für [mm] x\ge{0} [/mm]  und
II) [mm] -2*x\le{y} [/mm]    für [mm] x\le{0} [/mm]

Das muss man sich mal aufzeichnen, dann siehst Du wo die Lösungsmenge liegt.

mfg ullim

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Lösungsmengen bestimmen: zu Aufgabe c
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 So 31.01.2010
Autor: ullim

Hi,

[mm] (z+\bruch{1}{i})*(z^3+1)=0 [/mm]


Die Gleichung hat Lösungen, wenn die einzelnen Faktoren Null werden.

Also z.B [mm] z^3+1=0 [/mm]

Sei [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] mir r>0 [mm] \Rightarrow z^3=r^3*e^{i*3\phi} [/mm] mit [mm] e^{i\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm]

Es ist also die Gleichung [mm] r^3*e^{i3\phi}=-1 [/mm] zu lösen. Daraus folgt schon mal r=1

Also ist nach Aufteilung in Real- und Imaginärteil folgendes zu lösen:

I)   [mm] cos(3\phi)=-1 [/mm]  und
II)  [mm] sin(3\phi)=0 [/mm]

Die Sinusfunktion wird an den Stellen [mm] k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] Null. Jetzt muss man die Stellen finden wo auch der Cosinus -1 wird. Dann kommst Du auf die angegebenen Lösungen.

mfg ullim

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Lösungsmengen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 So 31.01.2010
Autor: johnyan

Vielen Dank schon mal, a) und b) verstehe ich jetzt.

nur bei c) ist es mir noch nicht ganz klar.

sinus hat bei [mm] k*\pi, k\in\IZ [/mm] seine Nullstellen, während cosinus bei [mm] (2k-1)*\pi [/mm] den Wert -1 annimmt. Dann heißt das doch, dass man für [mm] \phi [/mm] nur [mm] (2k-1)*\pi [/mm] einsetzen darf.

bei $ [mm] cos(3\phi)=-1 [/mm] $ heißt das z.B. [mm] 3\phi=1*\pi [/mm] => [mm] \phi=\pi/3 [/mm]
oder auch [mm] 3\phi=3*\pi [/mm] => [mm] \phi=\pi [/mm]
oder auch [mm] 3\phi=5*\pi [/mm] => [mm] \phi=5*\pi/3 [/mm]

man geht nicht mehr weiter zu [mm] 3\phi=7*\pi, [/mm] weil dann wieder folgendes gilt:
[mm] 3\phi=7\pi/3=2\pi+\pi/3 [/mm]

stimmt meine Überlegung?

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Lösungsmengen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 So 31.01.2010
Autor: ullim

Hi,

so ist es richtig [ok]

mfg ullim

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