Lösungsraum eines HLGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Fr 27.01.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | Man finde eine Basis für den Lösungsraum des homogenen LGS mit der folgenden Koeffizientenmarix:
[mm] \pmat{ 1 & 5 & 7 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 4 & 2 & 4 & -2 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe schon versucht die Aufgabe zu lösen.
Zuerst habe ich die Koeffizientenmatrix mit dem Gauß umgeformt
[mm] \to \pmat{ 1 & 0 & 0 & 37/21 & -17/21 \\ 0 & 1 & 0 & 1/21 & -5/21 \\ 0 & 0 & 1 & 3/21 & 6/21}
[/mm]
Die Lösungen dieses HLGS wären dann alle Vielfachen der Spalten von:
[mm] \vektor{-B \\ En-r }
[/mm]
also:
[mm] \vektor{ -37/21 & -1/21 & - 3/21 & 1 & 0 } [/mm] und [mm] \vektor{17/21 & 5/21 & -6/21 & 0 & 1 }
[/mm]
Ist es richtig, dass diese Vektoren ( mit dem 1-Trick herausgefunden ) Die Lösungsbasis bilden??
Wär nett wenn mir da jemand helfen kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 29.01.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Kann mir da denn keiner Helfen?
Das wär mir echt wichtig!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:34 So 29.01.2006 | | Autor: | toppy |
Hallo,
du schreibst in deiner Frage, dass es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt. Dieses Gleichungssystem ist aber nicht Homogen!
Wenn du eine Basis bestimmen willst, so musst du nur schauen, ob die Zeilenvektoren untereinander linear unabhängig sind. Und so die größt Mögliche Gruppe von linear unabhängigen Vektoren suchen.
Dass ist dann deine Basis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 30.01.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo toppy!
Vielen Dank zunächst, dass du dich meiner Frage angenommen hast!
Trotzdem bin ich aber der Meinung dieses LGS sei homogen, da in der Aufgabe deutlich von der Koeffizientenmatrix die Rede ist - nicht von der erweiterten!
Somit muss ich doch davon ausgehen, die rechte Seite ist der Nullvektor der Länge 3.
Oder liege ich hier falsch??
Außerdem steht in der Aufgabenstellung doch es ist ein HLGS!
Aber du hast mir ja gesagt
Maximalzahl der linear unabhängigen Vektoren seien hier gefagt.
Das bedeutet dann da die ersten drei Spalten die 3x3 Einheitsmatrix bilden sind diese die gesuchten Spalten oder?!
Also ist die Basis dann:
{ [mm] \vektor{ 1\\ 2 \\ 2 } [/mm] , [mm] \vektor{ 5 \\ 1 \\ 4 } [/mm] , [mm] \vektor{ 7 \\ 3 \\ 2 } [/mm] }
Die übrigen Spalten (4&5) sind Linear abhängig.
Liebe Grüße
ElemEnt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Element
Deine erste Lösung ist richtig, du hast 2 lin unabhängige Lösungsvektoren. Ich hab nicht nachgeprüft, ob di Koeffizienten vorn richtig sind, aber wenn du sie eingesetzt hast, ist die 01 und
10 als die 2 letzten richtig.
Natürlich ist es laut Aufgabe ein homogenes System! und die Lösungsvektoren haben die Länge 5!
Die 3 ersten Spalten sind die Bildvektoren der Einheitsvektoren,
KEINE Lösungsvektoren
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 02.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo leduart!
Ich danke dir für die Berichtigung der Berichtigung!
Du sagst also meine erste Lösung ist richtig, das freut mich sehr! *fg*
Ob nun die Koeffizienten richtig sind ist für mich nicht von großem Interesse, Hauptsache der Lösungsweg ist korrekt gewählt!
Die Probe habe ichnoch nicht gemacht aber wenn sie die Richtigkeit ans Licht brigt mache ich das noch.
Dann kann ich mich also max. verrechnet haben.
Danke nochmals - mir fält ein Stein vom Herzen!
ElemEnt
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