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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Fr 06.05.2011 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Seien $A, B [mm] \in Mat(n\times [/mm] n; [mm] \IR)$ [/mm] konstante Matrizen und $c [mm] \in \IR^{n}$. [/mm] Gegeben sei das Anfangswertproblem $$Ay' + By = 0, y(0) = c$$
a) Zeigen Sie, dass die Menge $V$ aller Lösungen [mm] $\varphi$ [/mm] des Anfangswertproblems einen [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] bildet. |
Sehe ich es richtig, dass eine Lösung des Problems nur dann existiert, wenn $A$ invertierbar (also, $A [mm] \in [/mm] GL(n, [mm] \IR)$) [/mm] ist? Sonst kann ich ja die Gleichung gar nicht in die Form $y' = Ay$ (in dem Fall y' = [mm] A^{-1}(-B)y) [/mm] bringen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Na, ja, sich Gedanken zu machen ist nicht immer gut. Einige Sachen sollte man einfach strikt nach Definition nachrechnen:
[mm] $\phi \equiv [/mm] 0$ ist eine Lösung, also $0 [mm] \in [/mm] V$. Weiter seien [mm] $\phi_1 [/mm] , [mm] \phi_2$ [/mm] Lösungen und [mm] $\alpha, \beta \in \IR$, [/mm] dann: [mm] $A(\alpha \phi_1 [/mm] + [mm] \beta \phi_2)' [/mm] = [mm] A\alpha\phi_1' [/mm] + [mm] A\beta\phi_2' [/mm] = [mm] \alpha A\phi_1' [/mm] + [mm] \beta A\phi_2' [/mm] = [mm] -\alpha B\phi_1 [/mm] - [mm] \beta B\phi_2 [/mm] = [mm] -B(\alpha\phi_1 [/mm] + [mm] \beta\phi_2)$, [/mm] somit ist auch Linearkombination von [mm] $\phi_1$ [/mm] und [mm] $\phi_2$ [/mm] eine Lösung, also [mm] $(\alpha \phi_1 [/mm] + [mm] \beta \phi_2) \in [/mm] V$.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 06.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien $A, B [mm]\in Mat(n\times[/mm] n; [mm]\IR)$[/mm] konstante Matrizen und
> $c [mm]\in \IR^{n}$.[/mm] Gegeben sei das Anfangswertproblem [mm]Ay' + By = 0, y(0) = c[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Menge [mm]V[/mm] aller Lösungen [mm]\varphi[/mm] des
> Anfangswertproblems einen [mm]\IR[/mm]-Vektorraum bildet.
> Sehe ich es richtig, dass eine Lösung des Problems nur
> dann existiert, wenn [mm]A[/mm] invertierbar (also, [mm]A \in GL(n, \IR)[/mm])
> ist?
Das siehst Du falsch.
> Sonst kann ich ja die Gleichung gar nicht in die Form
> [mm]y' = Ay[/mm] (in dem Fall y' = [mm]A^{-1}(-B)y)[/mm] bringen.
Wer sagt, dass Du das tun sollst ?
Beispiel: $A=-B= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$. [/mm] Ist [mm] $c=\vektor{c_1 \\ c_2}$, [/mm] so ist jedes [mm] $y=\vektor{y_1 \\ y_2}$ [/mm] Lösung des AWPs, wenn
[mm] y_1(x)=c_1e^x
[/mm]
und [mm] y_2(0)=c_2 [/mm] ist [mm] (y_2 [/mm] differenzierbar auf [mm] \IR)
[/mm]
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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