Lösungsweg, Lösungsansatz < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 05.10.2004 | | Autor: | gb57hs |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Vater eines 13 jährigen Schülers (8. Klasse Gymnasium) wollte ich bei Hausaufgaben helfen.
Leider erfolglos!
Hier die Aufgabe:
| Aufgabe | Ein Rechteck hat folgende Eigenschaften: Die eine Seite ist 6 cm länger als die andere Seite.
Wenn man die längere Seite um 4 cm verkürzt und die kürzere Seite um 3 cm verlängert, entsteht ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt.
Bestimme die Seitenlängen des ersten Rechtecks. |
Wie werden solche Aufgaben gelöst (Lösungsweg, Lösungsansatz)
Vielen Dank für Ihre Hilfe
mfg. gb57hs
|
|
| |
|
Solche Probleme löst man entweder durch ausprobieren (schlecht) oder mit Hilfe einer (oder mehrerer) Variablen.
Eine Variable ist im Prinzip nichts anderes als ein Platzhalter, ähnlich wie zum Beispiel [mm]\ell[/mm] und [mm]b[/mm] in der Formel [mm]A=\ell\cdot b[/mm] für die Länge und Breite des Rechtecks stehen. Egal wie lang oder breit das Rechteck ist, der Flächeninhalt wird ja immer auf die selbe Art und Weise berechnet.
Eine Variable unterscheidet sich von anderen Platzhaltern darin, dass ihre Veränderlichkeit bzw. ihre Unbestimmtheit in den Vordergrund rückt. Man sagt statt Variable auch Unbekannte.
Oft werden Unbekannte mit den letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnet, angefangen bei x, also x, y, z. Reicht das nicht, wird stattdessen auch beginnend mit [mm] x_1 [/mm] durchnummeriert, also [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] usw.
Hier reicht eine Unbekannte x. Entscheidend ist außerdem die Festlegung, welche Größe den Namen x tragen soll. Deshalb präsentiere ich hier zwei Rechenwege. Alle Längeneinheiten sind cm und werden in der Rechnung weggelassen, um die Rechnung übersichtlicher zu machen.
WEG I
--------
x = die kürzere der beiden Seiten des ursprünglichen Rechtecks
die andere Seite ist dann (x+6) lang
der alte Flächeninhalt ist [mm]x\cdot(x+6)=x^2+6x[/mm]
die neuen Kanten haben die Längen:
- die längere wird 4 cm kürzer, also [mm](x+6)-4=(x+2)[/mm]
- die kürzere wird 3cm länger, also [mm](x+3)[/mm]
der neue Flächeninhalt beträgt [mm](x+2)\cdot(x+3)=x^2+5x+6[/mm]
da dieser gleich dem alten sein soll, gilt:
[mm]x^2+6x=x^2+5x+6[/mm]
nachdem man erst [mm] x^2 [/mm] und dann 5x auf beiden Seiten der Gleichung abgezogen hat, bleibt stehen: x=6.
Die alten Kanten waren also 6cm und 12cm, die neuen 8cm und 9cm lang.
WEG II
---------
x = die längere der alten Seiten
die andere alte ist (x-6)
alte Fläche [mm]x\cdot(x-6)=x^2-6x[/mm]
neue Kanten:
- einmal (x-6)+3=(x-3)
- und einmal (x-4)
neue Fläche [mm](x-3)\cdot(x-4)=x^2-7x+12[/mm]
Hier erhält man eine andere Lösung für x, nämlich x=12.
Aber das passt ja zum Glück wunderbar zur Lösung des ersten Weges.
Diese Lösung von Problemen hat vier Stolpersteine:
1. die richtige Wahl von x,
2. das Darstellen aller relevanten Größen durch x-Ausdrücke,
3. der richtige (algebraische) Umgang mit den x-Ausdrücken,
4. das Zurückübersetzen der Lösung auf die Fragestellung.
Ich hoffe, ich konnte euch helfen.
Hugo
|
|
|
|
