Lösungsweg einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 03:58 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Duden |
| Aufgabe | | [mm]5x - x^2 \ge 0[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, ich habe eine Frage zu dem Lösungsweg einer Ungleichung. Und zwar seht ihr ja die Ungleichung und die Aufgabenstellung dazu lautet:
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die Ungleichung gilt.
Mein Lösungsansatz ist:
Damit die Ungleichung erfüllt ist, muss [mm]x\ge 0[/mm] sein, da [mm]5x für x<0[/mm] immer kleiner als null ist und [mm]-(x^2)[/mm] für [mm]x<0 [/mm] ebenfalls immer kleiner null ist.
Ich komme zu dem Ergebnis (durch Ausprobieren), dass [mm]x \in \IR = x \{ 0 bis 5 \}[/mm] ist.
Bloß wie schreibe ich das alles mathematisch korrekt auf?
Wenn ich wie bei einer Gleichung vorgehe, also
[mm]5x - x^2 \ge 0[/mm] [mm]| +x^2[/mm]
[mm]5x \ge x^2[/mm] [mm]| :x[/mm]
[mm]5 \ge x[/mm]
rechne, dann kommt ja heraus, dass [mm]x \le 5[/mm] ist, was ja nicht exakt stimmt.
Also wie gehe ich bei dieser Ungleichung mathematisch exakt vor?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:36 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo Duden.
> [mm]5x - x^2 \ge 0[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hi, ich habe eine Frage zu dem Lösungsweg einer
> Ungleichung. Und zwar seht ihr ja die Ungleichung und die
> Aufgabenstellung dazu lautet:
>
> Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die
> Ungleichung gilt.
>
> Mein Lösungsansatz ist:
>
> Damit die Ungleichung erfüllt ist, muss [mm]x\ge 0[/mm] sein, da [mm]5x für x<0[/mm]
> immer kleiner als null ist und [mm]-(x^2)[/mm] für [mm]x<0[/mm] ebenfalls
> immer kleiner null ist.
> Ich komme zu dem Ergebnis (durch Ausprobieren), dass [mm]x \in \IR = x \{ 0 bis 5 \}[/mm]
> ist.
>
> Bloß wie schreibe ich das alles mathematisch korrekt auf?
> Wenn ich wie bei einer Gleichung vorgehe, also
>
> [mm]5x - x^2 \ge 0[/mm] [mm]| +x^2[/mm]
> [mm]5x \ge x^2[/mm] [mm]| :x[/mm]
> [mm]5 \ge x[/mm]
>
> rechne, dann kommt ja heraus, dass [mm]x \le 5[/mm] ist, was ja
> nicht exakt stimmt.
>
> Also wie gehe ich bei dieser Ungleichung mathematisch exakt
> vor?
Wenn du [mm] -x^2+5x [/mm] betrachtest, fällt dir sicherlich auf, dass dies eigentlich eine quadratische Funktion ist. Wie berechnet man ganz allgemein die Nullstellen der Funktion? Mit der PQ-Formel!
Hier geht es allerdings noch einfacher, da man x ausklammern kann
[mm] $-x^2+5x \ge [/mm] 0$
$x (-x+5) [mm] \ge [/mm] 0$
1) [mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0$
2) [mm] $\Rightarrow [/mm] -x+5 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 5 [mm] \ge [/mm] x$
Aus 1) und 2) folgt die Lösung $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5$
Was du gemacht hast, du hast unter Umständen durch 0 (durch x) geteilt. Sollte man lieber sein lassen. Lieber ausklammern.
Um solche Ungleichungen zu lösen, kannst du die Nullstellen berechnen und dann kurz überlegen, ob für x nun $x > [mm] x_{nullstelle}$ [/mm] oder $x [mm] \le x_{nullstelle}$ [/mm] oder ... gelten muss
MfG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Duden |
| Aufgabe | | [mm]x-1 < \bruch{2x-4}{x-2}[/mm] |
Danke! Du hast mir sehr geholfen, ich hatte nicht daran gedacht, dass das Teilen durch x ein Teilen durch 0 zur Folge haben kann, vielen Dank!
Ich hätte da aber noch eine kleine Frage zu Ungleichungen. Und zwar als Beispiel diese Aufgabe. Man soll wieder alle reellen Zahlen x finden, für die die Ungleichung gilt.
wenn ich da jetzt ausklammere [mm]x-1 < x ( \bruch{x-4}{1-2})[/mm]
1) [mm]\Rightarrow x-1
2) [mm]\Rightarrow x-1 < x+4[/mm]
Aus 1) und 2) würde dann ja [mm]x-1
Oder hab ich hierbei etwas falsch gemacht?
Wird denn beim ausklammern nur die eine Seite der Ungleichung berücksichtigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Duden |
Danke für die Aufnahme in den Matheraum :)
Und danke für die sehr schnelle Antwort Loddar!!
Ich versuche also jetzt die Lösung zu diesem Problem mit deinen Tipps zu verfassen:
Also der Definitionsbereich von x ist: [mm](x \in \IR) x={ \IR } [/mm] außer 2 ,da der Bruch [mm]\bruch{2x-4}{x-2}[/mm] für [mm]x=2[/mm] nicht definiert ist.
Wenn ich nun richtig ausklammere, kommt ja dein Ergebnis heraus:
[mm]x-1 < \bruch{2x-4}{x-2}[/mm]
[mm]x-1 < \bruch{2*(x-2)}{x-2}[/mm]
durch kürzen kommt [mm]x-1 < 2[/mm] heraus
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x < 3[/mm]
Somit ergibt sich als Lösung:
[mm]x \in \IR = x < 3 [/mm] außer 2
Ist das richtig geschrieben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Duden |
Danke noch mal an Disap und vor allem an Loddar!! Das hat mir sehr geholfen!! Und noch dazu superschnell! Einfach top! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
... es geht hier so:
