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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | a) Warum gilt [mm] (log_a (b))*(log_b [/mm] (u)) = [mm] log_a [/mm] (u)?
b) Lösen Sie die Gleichung: [mm] log_2 [/mm] (x-2) + [mm] 2log_4 [/mm] (x)=3 |
Hallo,
also ich habe a) einfach mit einem Logarithmusgesetz gemacht:
[mm] log_b [/mm] (u)= [mm] (log_a [/mm] (u)) : [mm] (log_a [/mm] (b))
damit kann man das in die Gleichung einsetzen:
[mm] (log_a [/mm] (b)) * [mm] (log_a [/mm] (u)) : [mm] (log_a [/mm] (b)) = [mm] log_a [/mm] (u)
gekürzt ergibt das: [mm] log_a [/mm] (u) = [mm] log_a [/mm] (u)
Reicht das oder ist das kein richtiger Beweis?
zu b)
das habe ich mit dem Logaritmusgesetz von eben umgeformt, also:
[mm] log_a [/mm] (b) = log b : log a
-> log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
und wenn man bedenkt, dass [mm] log_a [/mm] (a) = 1 ergibt und man das überhaupt mal anschaut, dann kommt man darauf, dass x= 4 ist...
Aber das wäre ja auch nicht wirklich gelöst oder?
Vielen Dank im Vorraus für die Mühen!
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Hallo Jette87,
> a) Warum gilt [mm](log_a (b))*(log_b[/mm] (u)) = [mm]log_a[/mm] (u)?
> b) Lösen Sie die Gleichung: [mm]log_2[/mm] (x-2) + [mm]2log_4[/mm] (x)=3
> Hallo,
>
> also ich habe a) einfach mit einem Logarithmusgesetz
> gemacht:
>
> [mm]log_b[/mm] (u)= [mm](log_a[/mm] (u)) : [mm](log_a[/mm] (b))
>
> damit kann man das in die Gleichung einsetzen:
> [mm](log_a[/mm] (b)) * [mm](log_a[/mm] (u)) : [mm](log_a[/mm] (b)) = [mm]log_a[/mm] (u)
>
> gekürzt ergibt das: [mm]log_a[/mm] (u) = [mm]log_a[/mm] (u)
>
> Reicht das oder ist das kein richtiger Beweis?
das reicht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> zu b)
>
> das habe ich mit dem Logaritmusgesetz von eben umgeformt,
> also:
>
> [mm]log_a[/mm] (b) = log b : log a
>
> -> log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
> und wenn man bedenkt, dass [mm]log_a[/mm] (a) = 1 ergibt und man
> das überhaupt mal anschaut, dann kommt man darauf, dass x=
> 4 ist...
> Aber das wäre ja auch nicht wirklich gelöst oder?
Richtig. Das muß rechnerisch gelöst werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
> Hallo Jette87,
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> > a) Warum gilt [mm](log_a (b))*(log_b[/mm] (u)) = [mm]log_a[/mm] (u)?
> > b) Lösen Sie die Gleichung: [mm]log_2[/mm] (x-2) + [mm]2log_4[/mm] (x)=3
> > Hallo,
> >
> > also ich habe a) einfach mit einem Logarithmusgesetz
> > gemacht:
> >
> > [mm]log_b[/mm] (u)= [mm](log_a[/mm] (u)) : [mm](log_a[/mm] (b))
> >
> > damit kann man das in die Gleichung einsetzen:
> > [mm](log_a[/mm] (b)) * [mm](log_a[/mm] (u)) : [mm](log_a[/mm] (b)) = [mm]log_a[/mm] (u)
> >
> > gekürzt ergibt das: [mm]log_a[/mm] (u) = [mm]log_a[/mm] (u)
> >
> > Reicht das oder ist das kein richtiger Beweis?
>
> das reicht.
>
> >
> >
> > zu b)
> >
> > das habe ich mit dem Logaritmusgesetz von eben umgeformt,
> > also:
> >
> > [mm]log_a[/mm] (b) = log b : log a
> >
> > -> log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
> > und wenn man bedenkt, dass [mm]log_a[/mm] (a) = 1 ergibt und man
> > das überhaupt mal anschaut, dann kommt man darauf, dass x=
> > 4 ist...
>
> > Aber das wäre ja auch nicht wirklich gelöst oder?
>
> Richtig. Das muß rechnerisch gelöst werden.
>
> Gruß
> MathePower
Ok danke, aber ich weiß nicht wie... multiplizieren mit den werten unter den bruchstrichen bringt nicht viel und ersetzen... kannst du mir einen tipp geben?
Danke nochmals sehr! Echt nett von dir!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mi 18.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> > > das habe ich mit dem Logaritmusgesetz von eben umgeformt,
> > > also:
> > >
> > > [mm]log_a[/mm] (b) = log b : log a
> > >
> > > -> log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
Wenn ich mir das so anschaue Frage ich mich: auf welche Basis bezieht sich denn das log? Denn wenn die geschickt gewählt wird sind die Nenner ja nicht weiter tragisch. Und wenn die erst mal weg sind ist der REst wohl kein Problem mehr, oder?
Gruß
piet
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | | weiterhin gleiche Sache |
> Hallo,
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>
> > > > das habe ich mit dem Logaritmusgesetz von eben umgeformt,
> > > > also:
> > > >
> > > > [mm]log_a[/mm] (b) = log b : log a
> > > >
> > > > -> log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
> Wenn ich mir das so anschaue Frage ich mich: auf welche
> Basis bezieht sich denn das log? Denn wenn die geschickt
> gewählt wird sind die Nenner ja nicht weiter tragisch. Und
> wenn die erst mal weg sind ist der REst wohl kein Problem
> mehr, oder?
>
> Gruß
>
> piet
Na die Basis ist dann egal, das ist das logarithmusgesetz zum basiswechsel, wie auch schon aus dem Teil a) ...
[mm] log_c [/mm] (b) = [mm] log_a [/mm] (b) : [mm] log_a [/mm] (c) und da kann a egal was sein, bei log nimmt man dann einfach 10
so und wie soll das dann gehen? "Nenner nicht weiter tragisch"? soll ich die Nenner doch multiplizieren jeweils?
Danke schon mal!
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Hi, Jette,
log (x-2) : log 2 + 2* (log x : log 4) = 3
Du nimmst natürlich den Logarithmus mit der Basis 2 [mm] (log_{2} [/mm] wird übrigens meist mit lb abgekürzt, was "binärer Logarithmus" bedeutet):
lb(x-2) + [mm] 2*\bruch{lb(x)}{lb(4)} [/mm] = 3 (Definitionsmenge: x > 2)
Da nun lb(4) = 2*lb(2) = 2*1 = 2 ist, erhältst Du nach Kürzen:
lb(x-2) + lb(x) = 3
Das fasst Du zusammen: lb((x-2)*x) = 3
Die Umkehrfunktion von lb(x) ist [mm] 2^{x}; [/mm] daher ist
(x-2)*x = [mm] 2^{3} [/mm] bzw. [mm] x^{2} [/mm] - 2x = 8 oder [mm] x^{2}- [/mm] 2x - 8 = 0.
Daraus erhält man [mm] x_{1} [/mm] = 4; [mm] (x_{2} [/mm] = -2.)
Da der zweite Wert nicht in der Definitionsmenge liegt, ist er als Lösung unbrauchbar; daher ist die Lösungsmenge nur: L = [mm] \{ 4 \}.
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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