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| Aufgabe | 1.) Ein Kapital ist mit 6,5% jährlichen Zinssatz in 40 Jahren mit Zins und Zinseszins auf 400000 angewachsen.
Wie hoch war das Anfangskapital?
2.) Ein radioaktives Präparat zerfällt so, dass seine Menge stündlich um 8,3% abnimmt. Nach wie vielen ganzen Stunden ist erstmals weniger als 1 Zehntel der Anfangsmenge vorhanden? |
Sorry ihr klugen Köpfe, dass ich euch gleich zwei Fragen stelle, aber ihc stehe momentan total auf der Leitung bei diesen 2 Aufgaben. Ich habe zwar zu beiden Aufgaben die Lösungen, (1= 32216 und 2= 27Stunden) aber weiß nicht wie ich darauf kommen kann.
Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Do 08.06.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Zuerst zu Aufgabe 1)
Du weißt, dass der Zinssatz p=6,5% ist, die Anlegezeit 40 Jahre und dass man dadurch ein Kapitel von 400000 erwirtschaftet hat.
Soweit so gut! Nun schauen wir uns die Formel an, mit der man allgemein einen Zineszinsprozess beschreibt ...
[mm] Q(t)=Q_{0}*(1+\bruch{p}{n})^{n*t}.
[/mm]
Q(t) ist das Kapital zum Zeitpunkt t (Also Q(0) ist [mm] Q_{0} [/mm] ist das angelegte Geld), p ist der Zinssatz und n die Zahl, wie oft die Zinsen im Jahr ausbezahlt werden.
Für unser Beispiel folgt also:
[mm] Q(40)=Q_{0}*(1+\bruch{0,065}{1})^{1*40}=400000
[/mm]
Daraus lässt sich jetzt [mm] Q_{0} [/mm] einfach berechnen, in dem man Q(40)=400000 durch [mm] (1+\bruch{0,065}{1})^{1*40} [/mm] teil.
Nun zu 2)
Allgemein kann man einen radioaktiven Zerfallsprozess durch
[mm] Q(t)=Q_{0}*e^{-k*t}
[/mm]
beschreiben. Q(t) ist (analog wie in Aufgabe 1)) die noch vorhandene Menge des Stoffes nach der Zeit t, [mm] Q_{0} [/mm] ist die Ausgangsmenge (d.h. [mm] Q_{0}=Q(0)), [/mm] e ist die Eulerzahl und k die sog. Zerfallskonstante.
Dieses k müssen wir nun zuerst berechnen. Wie machen wir das?
Wir wissen, dass nach einer Stunde nur noch 91,7% des Präparates vorhanden sind. D.h. wir können schreiben ...
[mm] Q(t=1h)=Q_{0}*0,917=Q_{0}*e^{-k*1}.
[/mm]
Q(0) kürzt sich auf beiden Seiten weg und wir können auf beiden Seiten den ln anwenden ...
[mm] ln(0,917)=ln(e^{-k*1})=-k. [/mm] D.h. k=-ln(0,917)
Perfekt. Mit diesem k können wir jetzt unsere Zerfallsgleichung für dieses Präparat aufstellen ...
[mm] Q(t)=Q_{0}*e^{ln(0,917)*t}
[/mm]
Nun ist gefragt, nach dem Zeitpunkt, an dem nur noch [mm] \bruch{1}{10} [/mm] des Stoffes vorhanden sind. Wir formulieren also ...
[mm] Q(t)=\bruch{1}{10}*Q_{0}=Q_{0}*e^{ln(0,917)*t}.
[/mm]
Es kürzt sich wieder [mm] Q_{0} [/mm] und wir können nun aus dieser Gleichung t berechnen, in dem wir auf beiden Seiten ln anwenden ...
[mm] ln(\bruch{1}{10})=ln(e^{ln(0,917)*t})=ln(0,917^{t})=t*ln(0,917).
[/mm]
Dividiert man nun nun noch [mm] \bruch{1}{10} [/mm] durch ln(0,917) erhät man t.
So. Ich hoffe das war einigermaßen verständlich und ich konnte weiterhelfen!
Wünsche noch viel Spaß beim Rechnen!
Lg, Kübi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Do 08.06.2006 | | Autor: | Docy |
Noch mal zur Aufgabe 2:
[mm] M_{0} [/mm] = Anfangsmenge
x = Anzahl der Stunden
Die Funktion M(t) lautet:
M(t) = [mm] M_{0}*0.917^{x}
[/mm]
Die Gleichung lautet damit folgendermaßen:
[mm] M_{0}*0.917^{x}<\bruch{1}{10}M_{0}
[/mm]
Wir betrachten zunächst die Gleichung
[mm] M_{0}\*0.917^{x}=\bruch{1}{10}M_{0}
[/mm]
Damit errechnest Du den genauen Wert von x!
Wenn du diesen anschließend aufrundest, erhälst du die Anzahl der ganzen Stunden, so wie in der Aufgabenstellung verlangt wird!
Sollte jetzt eigentlich kein Problem mehr sein
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