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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Logarithmen vereinfachen
Logarithmen vereinfachen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Logarithmen vereinfachen: Logarithmenumformung- so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:11 Sa 06.11.2004
Autor: Mareni

Hallo!

Ich habe hier 5 Aufgaben vor mir liegen, bei denen ich mir nicht ganz sicher bin ob ich die so richtig mache bzw. wie sie gehen. Es wäre nett wenn ihr mir sagen könntet ob das Ergebnis so richtig ist, wenn nicht, kann ich den Rechenweg ja auch noch reinstellen:
log5(x+2)+1 = log5 12    Ich hab als Ergebnis x= 10 1/5

lg(3x+1) = 1   Hab ich x =3

log2 y - log2 25 =0   Habe ich y=25

log2 y - 2*log2 25 = 2     Habe ich y =629

Die mir fehlt (vereinfachen) ist:
logb [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm]


Danke schon einmal!!! :-)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Logarithmen vereinfachen: halbe Antwort
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 12:20 Sa 06.11.2004
Autor: Bastiane

Hallo!
>  log5(x+2)+1 = log5 12    Ich hab als Ergebnis x= 10 1/5

Du meinst sicher: [mm] log_5 (x+2)+1=log_5 [/mm] 12
Was ich hierbei nicht ganz verstehe: die +1 gehört nicht mehr zum log, oder? Sorry, bisher bin ich bei dieser Aufgabe auch nicht weit gekommen.
Aber weißt du eigentlich, dass du, wenn du eine Lösung hast, diese mit dem Taschenrechner kontrollieren kannst? Für den Zehnerlogarithmus (lg) und den natürlichen (oder auch Zweierlogarithmus) (ln) müsstest du Tasten auf deinem Taschenrechner haben. Und es gilt:
[mm] log_b a=\bruch{lg a}{lg b} [/mm]
Da mein Taschenrechner im Moment ein bisschen kaputt ist, habe ich es noch nicht nachgerechnet.

> lg(3x+1) = 1   Hab ich x =3

[ok] das stimmt!
  
> log2 y - log2 25 =0   Habe ich y=25

[ok][ok] das stimmt auch (aber diese Aufgabe ist ja ein Witz! ;-))

> log2 y - 2*log2 25 = 2     Habe ich y =629

Sorry, hier bin ich auch noch nicht weiter gekommen...
  
> Die mir fehlt (vereinfachen) ist:
>  logb [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2) [/mm]

Ich weiß nicht, ob das reicht, aber es gilt:
[mm] log_b (x^2-y^2) [/mm] = [mm] log_b (\bruch{x^2}{y^2}) [/mm] = [mm] log_b (\bruch{x}{y})^2 [/mm]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Logarithmen vereinfachen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Sa 06.11.2004
Autor: Marc

Hallo Bastiane!

>  >  logb [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2) [/mm]
>  Ich weiß nicht, ob das reicht, aber es gilt:
>  [mm]log_b (x^2-y^2)[/mm] = [mm]log_b (\bruch{x^2}{y^2})[/mm] = [mm]log_b (\bruch{x}{y})^2 [/mm]

Das halte ich für ein Gerücht :-), das hast du wohl mit dem MBLogarithmusgesetz [mm] $\log\bruch{x}{y}=\log x-\log [/mm] y$ verwechselt.

Die einzige Vereinfachungsmöglichkeit, die ich sehe, ist hier:

[mm] $\log_b(x^2-y^2)=\log_b \left((x-y)(x+y)\right)=\log_b(x-y)+\log_b(x+y)$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc
Bezug
        
Bezug
Logarithmen vereinfachen: zweite Hälfte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Sa 06.11.2004
Autor: Marc

Hallo Mareni,

[willkommenmr]

>  log5(x+2)+1 = log5 12    Ich hab als Ergebnis x= 10 1/5

[notok]. Hier könntest du folgendermaßen rechnen:

[mm] $\log_5(x+1)+1=\log_5(12)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_5(x+1)+\underbrace{\log_5(5)}_{=1}=\log_5(12)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_5\left((x+1)*5\right)=\log_5(12)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $(x+1)*5=12$
[mm] $\gdw$ [/mm] $x+1=12/5$
[mm] $\gdw$ $x+1=2\; \bruch{2}{5}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $x=1\; \bruch{2}{5}$ [/mm]
  
> lg(3x+1) = 1   Hab ich x =3

[ok], siehe Bastianes Antwort.
  
> log2 y - log2 25 =0   Habe ich y=25

[ok], siehe Bastianes Antwort.
  
> log2 y - 2*log2 25 = 2     Habe ich y =629

[notok]. Hier könntest du denselben "Trick" wie oben anwenden und versuchen, alle Summanden als Logarithmus einer gemeinsamen Basis zu schreiben.

[mm] $\log_2(y)-2*\log_2(25)=2$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_2(y)-2*\log_2(25)=\log_2(2^2)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_2(y)=\log_2(2^2)+\log_2(25^2)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_2(y)=\log_2(2^2*25^2)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\log_2(y)=\log_2(50^2)$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $y=50^2=2500$ [/mm]
  
> Die mir fehlt (vereinfachen) ist:
>  logb [mm](x^2[/mm] - [mm]y^2) [/mm]

Siehe meine Mitteilung zu Bastianes Antwort.

Viele Grüße,
Marc
Bezug
                
Bezug
Logarithmen vereinfachen: Rechenweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Sa 06.11.2004
Autor: Mareni

Danke erst einmal für die Antworten!
Ich finde es ja logisch wie Du es gemacht hast, aber wo genau liegt mein Fehler?
Ich habe es so gerechnet:
log2(y)- 2*log2(25) = 2
[mm] \gdw [/mm]   log2(y) - [mm] log2(25^2) [/mm] = 2
[mm] \gdw [/mm]   2^log2(y) - [mm] 2^log2(25^2) [/mm]  = [mm] 2^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]   y - [mm] 25^2 [/mm] = [mm] 2^2 [/mm]
somit y= 629......

Deswegen ist auch die andere Aufgabe falsch,  da habe ich es ähnlich gemacht.
Bezug
                        
Bezug
Logarithmen vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Sa 06.11.2004
Autor: Marc

Hallo Mareni,

>  Ich finde es ja logisch wie Du es gemacht hast, aber wo
> genau liegt mein Fehler?
>  Ich habe es so gerechnet:
>  log2(y)- 2*log2(25) = 2
>   [mm]\gdw[/mm]   log2(y) - [mm]log2(25^2)[/mm] = 2
>   [mm]\gdw[/mm]   2^log2(y) - [mm]2^log2(25^2)[/mm]  = [mm]2^2 [/mm]

[mm] $\uparrow$ [/mm] Hier ist der Fehler.

Du nimmst ja beide Seiten der Gleichung [mm] "$2^{\ldots}$" [/mm] -- die linke Seite lautet aber [mm] $\log_2(y) [/mm] - [mm] \log_2(25^2)$, [/mm] deswegen muß die Folge-Gleichung richtig lauten:

[mm]\gdw[/mm]   [mm] $2^{\log2(y) - \log_2(25^2)} [/mm] = [mm] 2^2$ [/mm]

Weiter umformen kannst du dann mit den Potenzgesetzen.

Alles klar?

Viele Grüße,
Marc
Bezug
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