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| Aufgabe | a)
Berechnen Sie für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \log(x)*x^{n} [/mm] .
b)
Es seien a, b > 0, a, b [mm] \not=1. [/mm] Zeigen Sie für x > 0:
[mm] \log_{a}x=\bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}
[/mm]
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zu a)
Wenn x gegen 0 geht, dann müsste doch als Grenzwert wegen 0 multipliziert mit irgendetwas beliebigen 0, also log(0)? Oder muss ich hier anders vorgehen?
zu b)
[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}=\log_{b}x-\log_{b}a
[/mm]
soweit ist es ja noch einfach, aber wie muss ich hier weiterrechnen, um die Voraussetzung zu zeigen?
Über Hilfe und Tipps wäre ich dankbar.
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Hallo Mirage.Mirror!
Forme um wie folgt und wende anschließend  de l'Hospital an:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\left[x^n*\log(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log(x)}{\bruch{1}{x^n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\log(x)}{x^{-n}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mo 07.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> zu b)
>
> [mm]\bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}=\log_{b}x-\log_{b}a[/mm]
Das passt so nicht.
Laut Logarithmengesetzen gilt:
[mm] log_{b}\bruch{x}{y}=log_{b}x-log_{b}y
[/mm]
Hier steht aber:
[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}
[/mm]
Zum Beweis:
Definiere dir mal ein c mit [mm] log_{a}(x)=c \gdw x=a^{c}
[/mm]
Also wird
[mm] \bruch{\log_{b}x}{\log_{b}a}
[/mm]
[mm] =\bruch{\log_{b}(a^{c})}{\log_{b}a}
[/mm]
[mm] =\bruch{c*\log_{b}a}{\log_{b}a}
[/mm]
=c
[mm] =log_{a}(x) [/mm] (Per Definition)
Marius
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