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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 13.01.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} nlog(1+\bruch{2}{n}) [/mm] ,
[mm] \limes_{y\rightarrow 0} \bruch{1}{y}log(1+y)
[/mm]
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Hallo,
ich weiß nicht wie ich das mache. Kann man den log irgendwie umschreiben? Muss man das Ganze dann jeweils auseinander nehmen? Oder gibt es da eine bestimmte Formel o.ä. für?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 So 13.01.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
b) [mm] \limes_{y\rightarrow 0} \bruch{1}{y}log(1+y)=\limes_{y\rightarrow 0} \bruch{log(1+y)}{y}=\bruch{"0"}{"0"} [/mm] du kannst also Regel von L'Hospital anwenden.
Bei der a) habe ich folgendes versucht, bin aber nicht weitergekommen. Vielleicht weiß ein anderer damit was anzufangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} nlog(1+\bruch{2}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} nlog(\bruch{n}{n}+\bruch{2}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty} nlog(\bruch{n+2}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}n*(log(n+2)-log(n))=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{log(n+2)-log(n)}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Jetzt wäre L'Hospital eine Möglichkeit, aber das haut nicht ganz hin?!
MfG barsch
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Hallo chipbit,
zu (a):
die Idee von barsch, das Ding umzuformen, um mit de l'Hôpital draufzuhauen, ist schon genau richtig, allerdings würde ich das sofort ohne Umwege so schreiben:
[mm] $n\cdot{}\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)=\frac{\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$
[/mm]
Das geht direkt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also ran mit de l'Hôpital, Zähler und Nenner getrennt ableiten:
[mm] $\frac{\left[\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]'}{\left[\frac{1}{n}\right]'}=\frac{-\frac{2}{n(n+2)}}{-\frac{1}{n^2}}=\frac{2n^2}{n(n+2)}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen.....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 13.01.2008 | | Autor: | chipbit |
Sorry, hatte jetzt erst Zeit. Also die erste strebt gegen 2 würd ich sagen.
Mit der anderen beschäftige ich mich dann jetzt noch schnell.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 13.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bei der ersten kann man sofort ausnutzen, dass [mm] $n*\log(1+\frac{2}{n})=\log\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$ [/mm] und dann strebt der Ausdruck in der Klammer gegen [mm] $e^2$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe:
Zwei Fälle:
1.) Betrachte stets $y>0$. Dann setze [mm] $z_1:=\frac{1}{y}$:
[/mm]
[mm] $\lim_{y \to 0^{+}} \frac{1}{y}\log(1+y)=\lim_{z_1 \to \infty} \log\left(1+\frac{1}{z_1}\right)^{z_1}$
[/mm]
2.) Nun sei stets $y<0$. Dann setze [mm] $z_2:=\frac{1}{y}$:
[/mm]
[mm] $\lim_{y \to 0^{-}} \frac{1}{y}\log(1+y)=\lim_{z_2 \to -\infty} \log\left(1+\frac{1}{z_2}\right)^{z_2}=\lim_{z_2 \to \infty} \log\left(1-\frac{1}{z_^2}\right)^{-z_2}$
[/mm]
Daraus folgt (da [mm] $\log(.)$ [/mm] stetig):
a) Grenzwert ist [mm] $\log(e^2)=2$
[/mm]
b) Grenzwert ist bei
1.) [mm] $\log(e)=1$
[/mm]
2.) [mm] $\log\left(\frac{1}{\frac{1}{e}}\right)=\log(e)=1$
[/mm]
(Sofern [mm] $\log(.)$ [/mm] der natürliche Logarithmus ist.), also insgesamt $=1$ bei Aufgabe b).
(Wenn [mm] $\log(.)$ [/mm] nicht der natürliche Logarithmus zur Basis $e$ ist, so hat man halt bei a) dann [mm] $\log(e^2)$ [/mm] oder [mm] $2*\log(e)$ [/mm] stehen und bei b) dann [mm] $\log(e)$.)
[/mm]
Anmerkung zu 2.):
[mm] $\lim_{z_2 \to \infty} \log\left(1-\frac{1}{z_2}\right)^{-z_2}=\lim_{z_2 \to \infty} \log\left(1+\frac{(-1)}{z_2}\right)^{-z_2}=-\log\left(\lim_{z_2 \to \infty} \left(1+\frac{(-1)}{z_2}\right)^{z_2}\right)=-\log(e^{-1})=\log(e^{-(-1)})=\log(e)=1$
[/mm]
(Wie gesagt, sofern [mm] $\log(.)$ [/mm] der natürliche Logarithmus.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 So 13.01.2008 | | Autor: | chipbit |
ah okay, danke für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 So 13.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} nlog(1+\bruch{2}{n})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} log((1+\bruch{2}{n})^n)
[/mm]
=log(e²)
[mm] \limes_{y\rightarrow 0} \bruch{1}{y}log(1+y)
[/mm]
[mm] =\limes_{y\rightarrow 0} log((1+y)^{\bruch{1}{y}})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow \infty} log((1+\bruch{1}{n})^n)
[/mm]
=log(e)
Oder täusche ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 13.01.2008 | | Autor: | chipbit |
auch an dich ein dickes Dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 13.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
nein, das ist im Wesentlichen okay so. Nur bei der zweiten Rechnung müsstest Du eigentlich die Existenz von [mm] $\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \log(1+y)$ [/mm] erstmal begründen, um dann sagen zu können, dass du o.E. hier [mm] $y=y_n=\frac{1}{n}$ [/mm] wählen kannst (und dass Du danach dann [mm] $y_n \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] n [mm] \to \infty$ [/mm] hast, ist klar).
Gruß,
Marcel
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