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Hallo
die zeit in der ich logarithmen von hand gerechnet habe sind lang vorbei, da ich die letzten beiden jahre alles mit dem laptop gerechnet hab.
ich häng gerade bei ner aufgabenstellung fest
[mm]x^{ln(y)}=\bruch{1}{e} \wedge x*y=1[/mm]
ich hab zwar jezz des y durch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ersetzt, aber mehr als [mm]e^{-1}[/mm] konnt ich auch nicht machen
steh voll auf em schlauch, wenn mir jemand erklären könnte wie ich hier weiter komme wär ich sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, InterSandman
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> [mm]x^{ln(y)}=\bruch{1}{e} \wedge x*y=1[/mm]
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> ich hab zwar jezz des y durch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ersetzt, aber
> mehr als [mm]e^{-1}[/mm] konnt ich auch nicht machen
>
Also: Da im Exponenten links ln(y) steht, muss y schon mal positiv sein: y>0.
Daher ist Deine Umformung: [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] sinnvoll; aber auch hier gilt: x>0 (wegen y>0 (!))
Nun hast Du also: [mm] x^{ln(\bruch{1}{x})} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
Du weißt sicher bereits:
[mm] ln(\bruch{1}{x}) [/mm] = - ln(x)
und außerdem: x = [mm] e^{ln(x)} [/mm] (für x > 0 !!!)
Daher:
[mm] (e^{ln(x)})^{-ln(x)} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
bzw. (Potenzgesetze!!)
[mm] e^{-(ln(x))^{2}} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm]
Gleiche Basis (e) links und rechts; daher auch gleiche Exponenten:
[mm] -(ln(x))^{2} [/mm] = -1 bzw. [mm] (ln(x))^{2} [/mm] = 1
Und hieraus wiederum: ln(x) = [mm] \pm1
[/mm]
Also: ln(x) = 1 [mm] \vee [/mm] ln(x) = -1
Lösung: x=e [mm] \vee x=e^{-1} [/mm] (y jeweils genau umgekehrt!)
mfG!
Zwerglein
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ok den anfang hab ich jetzt kapiert
jetzt stellt sich nur noch die frage für mich, wie komm ich von ln(x)=1 auf x=e bzw x= [mm]e^{-1}[/mm]
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Hi, InterSandman,
> jetzt stellt sich nur noch die frage für mich, wie komm ich
> von ln(x)=1 auf x=e bzw x= [mm]e^{-1}[/mm]
Der natürliche Logarithmus und die natürliche Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen, d.h. es gilt:
[mm] ln(e^{x}) [/mm] = x für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
und auch:
[mm] e^{ln(x)} [/mm] = x; hier aber nur für x [mm] \in \IR^{+} [/mm] (!!)
Wenn Du nun beide Seiten der Gleichung
ln(x) = 1
in die Exponentialfunktion einsetzt, erhältst Du:
[mm] e^{ln(x)} [/mm] = [mm] e^{1} [/mm] und somit - nach der obigen Vorbemerkung:
x = [mm] e^{1} [/mm] oder x = e.
Analog bei ln(x) = -1:
[mm] e^{ln(x)} [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
x = [mm] e^{-1}
[/mm]
Jetzt alles klar?
mfG!
Zwerglein
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