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Hallo,
also auch auf die Gefahr hin, dass ich lästig bin, möchte ich noch einmal fragen, ob irgendwer eine Ahnung von den Zweigen des Logarithmus hat und wie man damit rechnet (z.B. Sachen wie [mm] \[(1+i)^{(1+i)}\] [/mm] und sowas.
(bin beim Rätsel nicht viel weiter gekommen :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> also auch auf die Gefahr hin, dass ich lästig bin, möchte
> ich noch einmal fragen, ob irgendwer eine Ahnung von den
> Zweigen des Logarithmus hat und wie man damit rechnet (z.B.
> Sachen wie [mm]\[(1+i)^{(1+i)}\][/mm] und sowas.
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Ist [mm] $w=\exp(z)=\exp(x+iy)$, [/mm] dann folgt
[mm]w = \exp(x) (\cos y+i\sin y) [/mm] ,
oder
[mm] |w| = \exp x \gdw x = \ln |w| [/mm]
und
[mm] y = \mathop{\mathrm{arg}} w [/mm],
der Polarwinkel der Zahl w in der Polardarstellung komplexer Zahlen.
Also ist der Logarithmus [mm] $\ln [/mm] w = [mm] \ln|w| +i\mathop{\mathrm{arg}} [/mm] w $.
Nun ist aber im Komplexen ist die Definition der Umkehrfunktion der Exponentialfunktion nicht eindeutig. Denn wenn [mm] $w=\exp(z)$, [/mm] dann ist auch [mm] $w=\exp(z+2\pi [/mm] i n)$ für beliebige [mm] $n\in \IZ$. [/mm] Wenn ich also irgendwie meinen Logarithmus als Umkehrfunktion von exp definiere, sagen wir mal ganz abstrakt
[mm] z =\mathop{\mathrm{Log}} w [/mm],
dann ist auch jede Funktion der Form
[mm] l_n(z) = \mathop{\mathrm{Log}} w + 2\pi n[/mm] , [mm]n\in \IZ[/mm].
eine Umkehrfunktion von exp. Jede dieser Funktionen bildet die punktierte Ebene [mm] $\IC\backslash\{0\}$ [/mm] auf einen waagrechten Streifen der Höhe [mm] $2\pi$ [/mm] ab. Diese Funktionen heißen die Zweige des Logarithmus.
Nun läge es nahe, einfach zu sagen, man nimmt eine bestimmte dieser Funktionen, z.B. diejenige mit der Eigenschaft, dass [mm] $\mathop{\mathrm{Im}}\mathop{\mathrm{Log}} [/mm] w$ immer im halboffenen Intervall [mm] $(-\pi,+\pi]$ [/mm] liegt. Das ist der Hauptzweig des Logarithmus, und der ist tatsächlich eine eindeutige Definition des Logarithmus.
Leider ist die Sache nicht so einfach. Wenn ich bei w=1 auf dem Einheitskreis starte und einmal herumlaufe, so läuft [mm] $z=\mathop{\mathrm{Log}} [/mm] w auf der reellen Achse vom Punkt 0 aus nach rechts - bis ich einmal auf dem Einheitskreis herumgelaufen bin, dann springt nämlich der Funktionswert w zurück auf 0. Ähnliches gilt natürlich für jeden Kreis, mit beliebigem Radius. Kurzum, wir haben zwar eine eindeutige Definition, aber die dadurch definierte Funktion ist nicht in ganz [mm] $\IC\backslash\{0\}$ [/mm] holomorph.
Zu deiner Frage nach der Rechnung: Laut Definition ist
[mm](1+i)^{(1+i)} := \exp\left ((1+i)\ln(1+i)\right)[/mm]
EDIT:
Zur Berechnung des Logarithmus: $(1+i) = [mm] \sqrt{2}\exp(i\pi/4)$, [/mm] also ist der Hauptwert [mm] $\ln(1+i)=\ln\sqrt [/mm] {2} + i [mm] \bruch{\pi}{4}$.
[/mm]
Daher: [mm] $(1+i)\ln(1+i) [/mm] = [mm] \left(\ln\sqrt{2}-\bruch{\pi}{4}\right)+i\left(\ln\sqrt{2}+\bruch{\pi}{4}\right)$.
[/mm]
Also ist
[mm] (1+i)^{(1+i)} := \exp\left ((1+i)\ln(1+i)\right) = \exp\left(\ln\sqrt{2}-\bruch{\pi}{4}\right)*\left(\cos\left(\ln\sqrt{2}+\bruch{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\ln\sqrt{2}+\bruch{\pi}{4}\right)\right) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Aber wenn der Logarithmus als [mm] \[Log(z)=Ln(|z|)+iarg(z)\] [/mm] definiert ist, dann ist [mm] \[Log(1+i)=Log(\sqrt{2})+i \bruch{\pi}{4}\], [/mm] aber das Prinzip hab ich verstanden. Beim Hauptzweig ist [mm] \[n=0\]. [/mm]
Eine Frage noch: In der Vorlesung hieß es: [mm] \[y_{0}\le arg(z)\le y_{0}+2\pi\]
[/mm]
Wie löse ich diese Aufgabe für [mm] \[y_{0}=0\]? [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 So 13.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber wenn der Logarithmus als [mm]\[Log(z)=Ln(|z|)+iarg(z)\][/mm]
> definiert ist, dann ist [mm]\[Log(1+i)=Log(\sqrt{2})+i \bruch{\pi}{4}\],[/mm]
Sorry ja, da hast du natürlich recht.
> aber das Prinzip hab ich verstanden. Beim Hauptzweig ist
> [mm]\[n=0\].[/mm]
Nicht nur. Du kannst den Streifen der Höhe [mm] $2\pi$ [/mm] ja beliebig wählen, er muss nicht bei einem Vielfachen von [mm] $2\pi [/mm] i$ beginnen. Beim Hauptzweig liegt dieser Streifen symmetrisch zur reellen Achse. Es gilt für den Imaginärteil des Logarithmus:
[mm] \mathop{\mathrm{Im}} \mathop{\mathrm{Log}} z = \begin{cases} \ge 0,& \mathop{\mathrm{Im}} z \ge 0 \\ <0, & \mathop{\mathrm{Im}} z <0 \end{cases} [/mm] .
Der Imaginärteil des Hauptwerts hat also das gleiche Vorzeichen wie der Imaginärteil von z.
> Eine Frage noch: In der Vorlesung hieß es: [mm]\[y_{0}\le arg(z)\le y_{0}+2\pi\][/mm]
Genau das ist der Streifen der Höhe [mm] $2\pi$, [/mm] untere Kante bei [mm] $y_0$, [/mm] obere bei [mm] $y_{0}+2\pi$. [/mm] Allerdings müsste eines der beiden [mm] $\le$ [/mm] ein $<$ sein.
> Wie löse ich diese Aufgabe für [mm]\[y_{0}=0\]?[/mm]
Dann ist der Imaginärteil des Logarithmus der übliche Polarwinkel von z: 0 für positive reelle z, zwischen 0 und [mm] $\pi$ [/mm] für [mm] $\mathop{\mathrm{Im}} [/mm] z>0$, [mm] $\pi$ [/mm] für negative reelle Zahlen, zwischen [mm] $\pi$ [/mm] und [mm] $2\pi$ [/mm] für [mm] $\mathop{\mathrm{Im}} [/mm] z<0$ .
Viele Grüße
Rainer
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Und ich glaube [mm] \[\bruch{log(2)}{2}+i\bruch{\pi}{4}\] [/mm] ist nicht der Hauptwert, sondern [mm] \[\bruch{log(2)}{2}+i\bruch{5\pi}{4}\], [/mm] oder?
Ich habe mir das aber eigentlich eher geometrisch vorgestellt und gesagt:
beim Hauptzweig beginne ich bei [mm] \[-\pi\] [/mm] zu zählen, als auf der negativen reellen Achse und gehen dann gegen den Uhrzeigersinn bis [mm] \[\pi/4\] [/mm] und das sind diese [mm] \[5\pi/4\]. [/mm] beginne ich aber, wie es in der aufgabe verlangt wird, von 0, also von der positiven relleln Achse, sind es [mm] \[\pi/4\]. [/mm]
Das hört sich aber eher merkwürdig an, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 So 13.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Und ich glaube [mm]\[\bruch{log(2)}{2}+i\bruch{\pi}{4}\][/mm] ist
> nicht der Hauptwert, sondern
> [mm]\[\bruch{log(2)}{2}+i\bruch{5\pi}{4}\],[/mm] oder?
Nein. Das widerspricht schon der Definition, dass das Imaginärteil des Hauptwerts immer [mm] $<\pi$ [/mm] ist.
> Ich habe mir das aber eigentlich eher geometrisch
> vorgestellt und gesagt:
> beim Hauptzweig beginne ich bei [mm]\[-\pi\][/mm] zu zählen, als
> auf der negativen reellen Achse und gehen dann gegen den
> Uhrzeigersinn bis [mm]\[\pi/4\][/mm] und das sind diese [mm]\[5\pi/4\].[/mm]
Der Winkel wird immer von der reellen Achse aus gemessen, denn der Logarithmus ist die Umkehrfunktion von exp. Du beginnst nicht bei $-pi$ zu zählen. Es bedeutet nur, dass du beim Überschreiten dieser negativen reellen Achse von oben nach unten den Wert [mm] $2\pi$ [/mm] abziehen musst.
Viele Grüße
Rainer
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