Logarithmus in \IC < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a, b [mm] \in [/mm] {z [mm] \in \IC [/mm] | Re(z) > 0}.
Zu zeigen:
a) ab [mm] \in IC^{-} [/mm] := [mm] \IC [/mm] \ {r [mm] \in \IR [/mm] | r [mm] \le [/mm] 0} und log(ab) = log(a) + log(b)
b) Finde a,b [mm] \in \IC^{-} [/mm] mit ab [mm] \in \IC^{-} [/mm] und log(ab) [mm] \not= [/mm] log(a) + lob(b) |
Hallo,
bei der a) bin ich so vorgegangen:
a := x +iy
b := v+iw mit x>0 und v>0, weil a und b [mm] \in [/mm] {z [mm] \in \IC [/mm] | Re(z) > 0}.
Also ab = (x+iy)(v+iw) = xv +i(xw+vy)-yw
d.h. doch dass xv-yw > 0 sein muss, weil der Realteil von ab positiv sein muss.
Also habe ich mir gedacht, dass xv > yw sein muss. Aber das ist doch kein Beweis dafür, dass ab [mm] \in \IC^{-} [/mm] ist oder?
Weiter: log(ab) = log(xv-yw + i (xw+yv)) = [mm] \integral_{[1,ab]+\gamma}^{}{ \bruch{1}{s} ds}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der Weg vom Betrag r=|ab|, also Radius r zum Punkt ab ist.
Das Ergebnis ist dann: [mm] \integral_{1}^{r}{ \bruch{1}{s} ds}+i \alpha [/mm] = log(r) +i [mm] \alpha, [/mm]
wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel ist, den z mit der x-Achse einschließt.
Analog für log(a) = log(x+iy) und log(b)=log(v+iw),also:
log(a) = log(x+iy) = [mm] \integral_{1}^{ \wurzel{x^{2}+y^{2}}}{ \bruch{1}{s} ds}+ [/mm] i [mm] \alpha [/mm] = [mm] log(\wurzel{x^{2}+y^{2}})+i \alpha [/mm] und analog für log(b), stimmt das so?
Bei der b) habe ich schon sämtliche kompleze Zahlen ausprobiert, deren Realteile beide positiv sind, aber wenn ich das nach dem obigen Integrationsverfahren mache, dann stimmen sie am Ende immer überein. Findet jemand 2 Punkte a und b, für die die Nicht-Gleichheit zutrifft?
Danke für die Hilfe,
milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
ich hab in der Zwischenzeit mir nochmal die Aufgabe genauer unter die Lupe genommen, und versucht, die Aufgabe anders zu lösen. Kann jemand mir bitte meine Idee anschauen und sagen, ob sie falsch oder richtig ist?
Wenn log(ab) = log(a) + log(b) gelten muss, dann kann ich doch sagen, dass log(ab) := [mm] \integral_{[1,r]}^{}{ \bruch{1}{s}ds} [/mm] sein soll, wobei r der Radius vom Nullpunkt ist.
log(a) ist dann log(a) = [mm] \integral_{[1+r_{1}]}^{}{ \bruch{1}{s_{1}} ds_{1}} [/mm] und
analog log(b) = [mm] \integral_{[1+r_{2}]}^{}{ \bruch{1}{s_{2}} ds_{2}} [/mm]
Nun kann ich doch die beiden Teilintegrale zusammenaddieren, und bekomme dann [mm] \integral_{[1+r_{1}]+[1,r_{2}]}^{}{ \bruch{s}{s_{1}s_{2}} d(s_{1}+s_{2})} [/mm]
Wie zeige ich jetzt, dass das Integral was ich rausbekommen habe, gleich dem log(ab) = [mm] \integral_{[1+r]}^{}{ \bruch{1}{s} ds} [/mm] ist?
Danke!
Milka
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Das ist alles recht wirr, was du schreibst. Insbesondere die Sache mit den komplexen Kurvenintegralen scheinst du noch nicht verstanden zu haben. Schon die Schreibweisen der Integrale verraten das Unverständnis. Das ist nämlich alles so ziemlich ohne Sinn.
Es ist auch gar nicht nötig, mit Integralen zu arbeiten. Der Logarithmus ist ja die Umkehrung der Exponentialfunktion. Also sollte man mit dieser und ihren Eigenschaften argumentieren. Oder hattet ihr das noch nicht?
Wenn [mm]a,b[/mm] positiven Realteil haben, so liegen ihre Argumente im Intervall [mm]\left( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right)[/mm]. Beim Multiplizieren komplexer Zahlen addieren sich aber die Argumente. Das Argument von [mm]ab[/mm] liegt daher im Intervall [mm]\left( - \pi , \pi \right)[/mm]. Somit liegt [mm]ab[/mm] in der längs der negativen reellen Achse aufgeschlitzten Gaußschen Zahlenebene.
Und jetzt zum Logarithmus. Zunächst einmal vermute ich, daß mit [mm]\log{z}[/mm] der Hauptzweig des Logarithmus gemeint ist:
[mm]\log{z} = \ln{|z|} + \operatorname{i} \arg{z} \ \ \text{mit} \ \ \arg{z} \in \left( - \pi , \pi \right) [/mm]
worin [mm]\ln[/mm] den gewöhnlichen natürlichen reellen Logarithmus bezeichnet.
Es gilt einerseits
[mm]\operatorname{e}^{\log{(ab)}} = ab[/mm]
und andererseits gemäß der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
[mm]\operatorname{e}^{\log{a} + \log{b}} = \operatorname{e}^{\log{a}} \cdot \operatorname{e}^{\log{b}} = ab[/mm]
Wegen der Periodizität der Exponentialfunktion existiert daher ein [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm] mit
[mm]2 \pi \operatorname{i} k = \log{(ab)} - \left( \log{a} + \log{b} \right)[/mm]
Da die linke Seite rein imaginär ist, muß es auch die rechte sein. Es folgt:
[mm]2 \pi k = \arg{(ab)} - \left( \arg{a} + \arg{b} \right)[/mm]
Wegen [mm]\arg{(ab)} \in \left( - \pi , \pi \right)[/mm] und [mm]\arg{a}, \arg{b} \in \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)[/mm] muß die rechte Seite [mm]\in \left( - 2 \pi , 2 \pi \right)[/mm] sein. Das kann nur für [mm]k=0[/mm] gehen. Damit folgt
[mm]\log{(ab)} = \log{a} + \log{b}[/mm]
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Hallo Leopold,
vielen Dank erstmal, dass du mir hilfst. Ich hab gedacht, meine Frage übersieht jeder... 
Ich bin nun so vorgegangen, wie du es mir geraten hast:
Seien also a,b [mm] \in [/mm] {z [mm] \in \IC [/mm] | Re(z) > 0}
z.z. ab [mm] \in \IC^{-} [/mm] := [mm] \IC [/mm] ohne {r [mm] \in \IR [/mm] | r le 0}
Also: log(z) = [mm] \integral_{[1,z]}^{}{ \bruch{1}{s} ds} [/mm]
Also: z = exp (t+i [mm] \lambda) [/mm] = exp(t) (cos [mm] \lambda [/mm] + i sin [mm] \lambda)
[/mm]
Da also Re(a) > 0 und Re(b) > 0, folgt daraus:
Für a : [mm] \alpha \in [/mm] ]- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[ [/mm] und
für b: [mm] \beta \in [/mm] ]- [mm] \bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}[
[/mm]
Also: a = exp [mm] (t_{1}+i \alpha) [/mm] und b = exp [mm] (t_{2}+i \beta)
[/mm]
Nun ist ab = exp [mm] (t_{1}+i \alpha)exp (t_{2}+i \beta) [/mm] = exp [mm] (t_{1}+t_{2}+i( \alpha+\beta)) [/mm] = exp [mm] (t_{1}+t_{2}) (cos(\alpha+\beta) [/mm] + i sin [mm] (\alpha+\beta))
[/mm]
Daraus folgt: [mm] \alpha+\beta \in ]-\pi,\pi[
[/mm]
Deshalb folgt insgesamt: ab [mm] \in \IC^{-} [/mm] = [mm] \IC [/mm] ohne {r [mm] \in \IR [/mm] | r le 0}
Aber warum folgt das genau? Ich versteh nicht ganz, wie man das schlussfolgern kann. Kannst du mir das bitte nochmal anschaulich erklären?
Nun zum Logarithmus:
Was bedeutet hier das Wort "arg"? Ist damit der Imaginärteil gemeint? Ich kenne die Schriebweise mit "arg" nicht.
Was bedeutet das "arg" in log (z) = ln |z| + i arg z?
Danke für die weitere Hilfe!!!
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 So 28.05.2006 | | Autor: | Binie |
Hallo Milka
Also das was du gemacht hast nach Leopolds Antwort ist irgendwie komisch. Aber fangen wir mal langsam an:
Zuerst mal wollt ich sagen, dass es hilfreich ist, wenn du bei so kurzen Fragen wie "was heißt arg" einfach mal googelst. Gib arg z ein und schon hast du eine Erklärung, dann musst du nicht immer auf eine Antwort hier warten. Ich hab das grad mal für dich gemacht und siehe da:
"Als Argument einer komplexen Zahl bezeichnet man den Winkel [mm] \varphi [/mm] , den die als Vektor interpretierte komplexe Zahl z mit der positiven x-Achse einschließt und schreibt Arg z = [mm] \varphi_z [/mm] ". Jetzt wird das was Leo geschrieben hat verständlicher für dich hoff ich.
Dass du so Schwierigkeiten hattest den log als Integral zu schreiben liegt vermutlich an unserem (!!!) verwirrten Prof. Wir scheinen dieselbe Vorlesung zu hören
Aber nun mal zur Aufgabe:
du kannst doch das a und das b in Polarkoordinaten schreiben
a = [mm] r_a [/mm] ( cos [mm] \varphi_a+i [/mm] sin [mm] \varphi_a)
[/mm]
b = [mm] r_b [/mm] ( cos [mm] \varphi_b+i [/mm] sin [mm] \varphi_b)
[/mm]
nun gilt wie Leo sagte, dass [mm] \varphi_a, \varphi_b [/mm] im Intervall [mm] (-\pi/2;\pi/2). [/mm] Bei der Multiplikation werden die Winkel addiert weil doch die Polarkoordinaten nichts anderes sind als [mm] re^{i\varphi}. [/mm] Schreib a und b so und nimm Mal und dann folgt dass [mm] \varphi_{ab} [/mm] = [mm] \varphi_a+\varphi_b
[/mm]
Also gilt genau wie Leo sagte [mm] \varphi_{ab} [/mm] liegt im Intervall (- [mm] \pi; \pi) [/mm] und damit in [mm] \IC^- [/mm] . (Ich glaube das zu verstehen bin aber auch nicht 100% sicher: Ich denke das gilt, weil der Winkel zur realen x-Achse sowohl im Positiven als auch im Negativen 180° haben kann. Ich denke nur man müsste genau die 180° ausschließen, denn dann trifft es eben die negative reale Achse nicht, wie verlangt war, also habe ich überlegt das Intervall müsste lauten [mm] \left] -\pi;\pi \right[. [/mm] Das wäre ja auch logisch weil schon im ersten Intervall [mm] \left] -\pi/2;\pi/2 \right[ [/mm] gelten müsste damit a und b Re>0 haben und nicht Re [mm] \ge0 [/mm] . Weiß da jemand was dazu?) Wie auch immer die Lösung ist so auch schon gut. Also Teil eins von a) ist fertig.
Und nun zum log: Das Einzige, was Leo anders gemacht hat als wir in der Vorlesung ist die Schreibweise von log. Bei uns im Skript steht
log z = [mm] \integral_{\left[ 1;r_z \right]+ \gamma}{(1/s) ds}. [/mm] Nach einigem wirren Umformen kamen wir auf log z = log [mm] r_z [/mm] + [mm] i\varphi_z. [/mm] So nun ist doch in dieser Aufgabe [mm] r_z [/mm] = |ab| (aber auch egal fällt ja eh weg). Insgesamt gehts jetzt genauso los wie Leo das toll vorgemacht hat. Ich meine das mit dem e^log... Du musst eigentlich immer nur [mm] \varphi_a [/mm] oder [mm] \varphi_b [/mm] statt arg a und arg b schreiben. Versuchs mal.
Okay, ich denke das war erst mal das Wichtigste.
Falls es jemand bis zum Ende hier geschafft hat , wäre ich dankbar, wenn Fehler verbessert würden, bzw jmd was zu diesem Intervall weiß.
Ach ja und wegen dem Teil b) der Aufgabe bin ich auch noch ratlos (also wenn wer ne Idee hat wärs toll)
Liebe Grüße Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 28.05.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Danke Binie, du hast mir sehr geholfen! Ich hab die Aufgabe nun verstanden. Das mit dem arg hab ich mir auch gedacht, dass das der Winkel sein muss
Gruß
milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 28.05.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Bin froh dass ich helfen konnte (wenn ich denn ausnahmsweise mal etwas verstanden habe). Finde es toll, dass du hier regelmäßig über unsere Blätter diskutierst, dass hilft mir sehr.
Bis zum nächsten Mal Binie
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