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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 07.11.2014 | | Autor: | linolada |
| Aufgabe | Das Höhenwachstum einer Weißtanne kann näherungsweise durch eine Funktion h mit h(t)= [mm] \bruch{70}{1+e^{-70*k*t}} [/mm] beschrieben werden.
a) Die Tanne hat 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn eine Höhe von 6m erreicht. Wie groß war sie bei Beobachtungsbeginn?
b)Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?
c) Ab welchem Zeitpunkt ist die Höhenzunahme innerhalb eines Jahres geringer als 10cm. |
Mein Ansatz bei der a) war ganz einfach. Ich habe einfach t=0 eingesetzt und bin somit auf eine Höhe von ungefähr 69cm gekommen.
Das größere Problem ist Teilaufgabe b). Zuerst habe ich nach k aufgelöst und erhalten:
[mm] k=\bruch{ln(\bruch{32}{300})}{-560} \approx [/mm] 0,003997. Das habe ich gleich mit -70 multipliziert: k*(-70) [mm] \approx [/mm] -0,2798.
Danach mit Quotientenregel abgeleitet, weil ich ja die maximale Wachstumsgeschwindigkeit haben möchte:
h'(t)= [mm] \bruch{0*(1+100e^{-0,2798t})-70*(-27,98*e^{-0,2798t})}{(1+100e^{-0,2798})^{2}}
[/mm]
Dann wollte ich den Zähler 0 setzen, da gilt : Ein Bruch ist dann 0, wenn der Zähler 0 ist. Also:
[mm] -70*(-27,98e^{-0,2798t}) [/mm] = 0
Von da an, weiß ich nicht mehr wie es weitergehen soll :( Bei mir kommt irgendwann der ln0, was nicht sein kann.
Ansatz für c) h(t+1)-h(t)=0,1. Danach mit GTR.
Ich freue mich über eure Antworten! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das Höhenwachstum einer Weißtanne kann näherungsweise
> durch eine Funktion h mit h(t)= [mm]\bruch{70}{1+e^{-70*k*t}}[/mm]
Sollte das nicht so lauten:
h(t)= [mm]\bruch{70}{1+100*e^{-70*k*t}}[/mm] ?
> beschrieben werden.
>
> a) Die Tanne hat 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn eine Höhe
> von 6m erreicht. Wie groß war sie bei Beobachtungsbeginn?
> b)Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am
> größten?
> c) Ab welchem Zeitpunkt ist die Höhenzunahme innerhalb
> eines Jahres geringer als 10cm.
> Mein Ansatz bei der a) war ganz einfach. Ich habe einfach
> t=0 eingesetzt und bin somit auf eine Höhe von ungefähr
> 69cm gekommen.
Stimmt.
> Das größere Problem ist Teilaufgabe b). Zuerst habe ich
> nach k aufgelöst und erhalten:
>
> [mm]k=\bruch{ln(\bruch{32}{300})}{-560} \approx[/mm] 0,003997. Das
> habe ich gleich mit -70 multipliziert: k*(-70) [mm]\approx[/mm]
> -0,2798.
Stimmt auch.
>
> Danach mit Quotientenregel abgeleitet, weil ich ja die
> maximale Wachstumsgeschwindigkeit haben möchte:
>
> h'(t)=
> [mm]\bruch{0*(1+100e^{-0,2798t})-70*(-27,98*e^{-0,2798t})}{(1+100e^{-0,2798})^{2}}[/mm]
>
> Dann wollte ich den Zähler 0 setzen, da gilt : Ein Bruch
> ist dann 0, wenn der Zähler 0 ist. Also:
>
> [mm]-70*(-27,98e^{-0,2798t})[/mm] = 0
>
> Von da an, weiß ich nicht mehr wie es weitergehen soll :(
> Bei mir kommt irgendwann der ln0, was nicht sein kann.
h ist das Höhenwachstum.
h' gibt die Wachstumsgeschwindigkeit an.
In b) ist also das Maximum von h' gesucht !
FRED
>
> Ansatz für c) h(t+1)-h(t)=0,1. Danach mit GTR.
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> Ich freue mich über eure Antworten! :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 07.11.2014 | | Autor: | linolada |
Vielen Dank! Ich dachte, dass h(t) schon die Wachstumsgeschwindigkeit ist, anstatt "nur" das Wachstum pro Zeit. Ich bräuchte dann also rein theoretisch noch die 2. Ableitung. Habe es vorerst nur mit dem GTR gemacht und bin auf ein Maximum bei [mm] x\approx [/mm] 16,46 gekommen. Die Geschwindigkeit beträgt dort [mm] \approx [/mm] 4,897 [mm] \bruch{Meter}{Jahr}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Ich dachte, dass h(t) schon die
> Wachstumsgeschwindigkeit ist, anstatt "nur" das Wachstum
> pro Zeit. Ich bräuchte dann also rein theoretisch noch die
> 2. Ableitung.
Was soll denn "rein theoretisch" bedeuten ??? Du brauchst h''
> Habe es vorerst nur mit dem GTR gemacht
Was hast Du gemacht ?
> und
> bin auf ein Maximum bei [mm]x\approx[/mm] 16,46 gekommen. Die
> Geschwindigkeit beträgt dort [mm]\approx[/mm] 4,897
Das hab ich nicht kontrolliert. Zeig Deine Rechnungen !
> [mm]\bruch{Meter}{Jahr}[/mm]
Und was ist Deine Frage ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 07.11.2014 | | Autor: | linolada |
Also ich habe das Maximum von h'(t) mithilfe des Befehls "maximum" des GTRs gerechnet. Dafür habe ich dann, wie bereits genannt, die Werte für x und y bekommen. Meine Frage ist, ob diese Vorgehensweise so korrekt ist?
Ich habe die 2. Ableitung noch nicht handrechnerisch gelöst, da ich vorher sicher gehen wollte, dass der Ansatz stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe das Maximum von h'(t) mithilfe des Befehls
> "maximum" des GTRs gerechnet. Dafür habe ich dann, wie
> bereits genannt, die Werte für x und y bekommen. Meine
> Frage ist, ob diese Vorgehensweise so korrekt ist?
Wir können nicht wissen, ob diese Vorgehensweise Deinen Chef zufrieden stellt.
FRED
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> Ich habe die 2. Ableitung noch nicht handrechnerisch
> gelöst, da ich vorher sicher gehen wollte, dass der Ansatz
> stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Fr 07.11.2014 | | Autor: | linolada |
Ich rede mal mit ihm, sobald wie möglich. Vielen Dank nochmals für die super Hilfestellung! :)
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