Lokale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Di 20.10.2009 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale Extrema:
(a) [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] x_1^3 [/mm] + [mm] 12x_1x_2 [/mm] - [mm] 3x_2^2
[/mm]
(b) [mm] f(x_1,x_2) [/mm] = [mm] sin(x_1)cos(x_2) [/mm] |
Hallo!
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, bin mir aber nicht ganz sicher.
Zu (a)
Ich habe also zunächst die partiellen Ableitungen berechnet.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 3x_1^2 [/mm] + [mm] 12x_2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 12x_1 [/mm] - [mm] 6x_2
[/mm]
und weiterhin
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] 6x_1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_1,x_2) [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_2,x_1) [/mm] = 12
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_2x_2}(x_1,x_2) [/mm] = -6
Nun muss ja weiterhin gelten, dass grad(f) = [mm] \vektor{3x_1^2 + 12x_2 \\ 12x_1 - 6x_2} [/mm] = 0
Muss ich nun einfach das Gleichungssystem lösen, um auf die kritischen Punkte zu kommen? Einer wäre durch hinsehen ja schonmal (0,0).
Habe ich nun
[mm] 3x_1^2 [/mm] + [mm] 12x_2 [/mm] = 0
[mm] 12x_1 [/mm] - [mm] 6x_2 [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow x_2 [/mm] = 2 , in die 1. Gleichung eingesetzt macht [mm] x_1^2 [/mm] = -8, was aber in [mm] \IR [/mm] nicht möglich ist.
Heißt das, dass es keine weiteren kritischen Punkte gibt?
Es gilt ja, dass Hess f = [mm] \pmat{ 6x_1 & 12 \\ 12 & -6 }
[/mm]
Wenn ich [mm] x_1 [/mm] nun als 0 setze, kann die Matrix ja schon nach Hauptminoren-Kriterium ja nicht mehr pos. bzw. negativ definit sein.
Bedeutet das nun insgesamt, dass die Funktion kein lokales Extremum besitzt? Ich habe die Funktion mal geplottet, und da kam so nen "gebogenes Papier" bei raus, was an den Ecken immer größer bzw. kleiner wurde.
Ich weiß aber leider nicht, ob mein Plot richtig war.
Zu (b)
Beim Plotten bekam ich schonmal so einen schönen Eierkarton. Das würde ja schonmal gut zum sinus/cosinus-Gebilde passen.
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_1} [/mm] = [mm] cos(x_1) cos(x_2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_2} [/mm] = [mm] sin(x_1) (-sin(x_2))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1} [/mm] = [mm] -sin(x_1) cos(x_2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_1} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_2} [/mm] = [mm] cos(x_1) (-(sin(x_2))
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_2} [/mm] = [mm] sin(x_1) (-cos(x_2))
[/mm]
Bin mir leider nicht ganz sicher, ob die auch richtig sind.
Somit ergibt sich, um die krit. Punkte zu bestimmen:
grad (f) = [mm] \vektor{cos(x_1) cos(x_2) \\ sin(x_1) (-sin(x_2))} [/mm] = 0
Da ich jetzt nicht genau weiß, wie ich das "schematisch" lösen soll, habe ich geschaut, wann sinus bzw. cosinus 0 werden. Denn wenn einer der Faktoren 0 ist, dann ja auch das Produkt.
Jetzt habe ich nur die Punkte aus dem Intervall [0, [mm] \bruch{3}{2}\pi] [/mm] betrachtet, da sinus bzw. cosinus ja [mm] 2\pi [/mm] - periodisch sind. Reicht das ganze wohl so?
Als kritische Punkte bekäme ich dann
(1) [mm] (\bruch{\pi}{2}, [/mm] 0) (2) [mm] (\bruch{\pi}{2}, \pi)
[/mm]
(3) [mm] (\bruch{3}{2}\pi, [/mm] 0) (4) [mm] (\bruch{3}{2}\pi, \pi)
[/mm]
(5) (0, [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] (6) (0, [mm] \bruch{3}{2}\pi)
[/mm]
(7) [mm] (\pi, \bruch{\pi}{2}) [/mm] (8) [mm] (\pi, \bruch{3}{2}\pi)
[/mm]
Punkte 5-8 würden bei mir wieder nach Hauptminoren-Kriterium rausfallen, weil das erste Element der Matrix 0 ist.
Minima wären bei mir (1) und (4) , (2) und (3) Maxima
Hier bin ich mir leider absolut garnicht sicher. Trigonometrische Funktionen waren noch nie meine Freunde.
Kann mir vll. jemand helfen bzw. sagen, was falsch sein könnte?
Hoffentlich liest sich jemand den ganzen Kram überhaupt durch ;)
Edit: Ganz vergessen: Hess f = [mm] \pmat{ -sin(x_1) cos(x_2) & cos(x_1) (-(sin(x_2)) \\ cos(x_1) (-(sin(x_2)) & sin(x_1) (-cos(x_2)) }
[/mm]
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Hallo daN-R-G,
hmm, eine derart umfangreiche Aufgabe hättest du der Übersicht halber besser in 2 verschiedene threads aufgeteilt ...
Mal zunächst zur a):
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale
> Extrema:
> (a) [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]x_1^3[/mm] + [mm]12x_1x_2[/mm] - [mm]3x_2^2[/mm]
> (b) [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]sin(x_1)cos(x_2)[/mm]
> Hallo!
>
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, bin mir aber nicht ganz
> sicher.
>
> Zu (a)
> Ich habe also zunächst die partiellen Ableitungen
> berechnet.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]3x_1^2[/mm] + [mm]12x_2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]12x_1[/mm] - [mm]6x_2[/mm]
>
> und weiterhin
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]6x_1[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_1,x_2)[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_2,x_1)[/mm] = 12
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_2}(x_1,x_2)[/mm] = -6
>
> Nun muss ja weiterhin gelten, dass grad(f) = [mm]\vektor{3x_1^2 + 12x_2 \\ 12x_1 - 6x_2}[/mm] = 0
>
> Muss ich nun einfach das Gleichungssystem lösen, um auf
> die kritischen Punkte zu kommen?
Ja klar 
> Einer wäre durch hinsehen
> ja schonmal (0,0).
>
> Habe ich nun
>
> [mm]3x_1^2[/mm] + [mm]12x_2[/mm] = 0
> [mm]12x_1[/mm] - [mm]6x_2[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = 2
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Mit der 2.Gleichung folgt, dass [mm] $2x_1=x_2$ [/mm] sein muss.
Das in die erste eingesetzt, liefert [mm] $x_1^2+8x_1=0$, [/mm] also [mm] $x_1=0\vee x_1=-8$
[/mm]
Also hast du als stationäre Punkte $(0,0), (-8,-16)$
> , in die 1. Gleichung eingesetzt macht
> [mm]x_1^2[/mm] = -8, was aber in [mm]\IR[/mm] nicht möglich ist.
> Heißt das, dass es keine weiteren kritischen Punkte
> gibt?
> Es gilt ja, dass Hess [mm] f\red{(x_1,x_2)} [/mm] = [mm]\pmat{ 6x_1 & 12 \\ 12 & -6 }[/mm]
>
> Wenn ich [mm]x_1[/mm] nun als 0 setze, kann die Matrix ja schon nach
> Hauptminoren-Kriterium ja nicht mehr pos. bzw. negativ
> definit sein.
>
> Bedeutet das nun insgesamt, dass die Funktion kein lokales
> Extremum besitzt?
Wenn ich das richtig sehe, ist die Hessematrix in $(0,0)$ semidefinit (1 EW>0, einer <0).
Damit liegt bei $(0,0)$ ein Sattelpunkt!
> Ich habe die Funktion mal geplottet, und
> da kam so nen "gebogenes Papier" bei raus, was an den Ecken
> immer größer bzw. kleiner wurde.
> Ich weiß aber leider nicht, ob mein Plot richtig war.
Keine Ahnung ... poste das Bildchen mal.
Es bleibt immerhin noch der andere stat. Punkt zu untersuchen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 20.10.2009 | | Autor: | daN-R-G |
Ja stimmt. Da hast du Recht. Das hätte ich wohl besser unterteilen sollen.
Und auch noch einmal der Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zumindest sieht es hier nicht so aus, als gäbe es kokale Extrema
Zum Punkt (-8, -16): Natürlich! Ich habe die GLeichung total falsch aufgelöst!
Es würde sich dann ja ergeben:
Hess f [mm] (x_1,x_2) [/mm] = [mm] \pmat{ 6*-8 & 12 \\ 12 & -6 }
[/mm]
Der 1. Hauptminor wäre -48 und der 2. (-48)*(-6) - 12*12 = 144
Also müsste die Hessematrix doch eigentlich negativ definit sein!
Irgendwie bin ich grad verwirrt, zumindest auf Hinblick zum Plot.
Vielen Dank schonmal!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo nochmal,
> Ja stimmt. Da hast du Recht. Das hätte ich wohl besser
> unterteilen sollen.
>
> Und auch noch einmal der Plot:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Zumindest sieht es hier nicht so aus, als gäbe es kokale
> Extrema
>
> Zum Punkt (-8, -16): Natürlich! Ich habe die GLeichung
> total falsch aufgelöst!
> Es würde sich dann ja ergeben:
>
> Hess f [mm](x_1,x_2)[/mm] = [mm]\pmat{ 6*-8 & 12 \\ 12 & -6 }[/mm]
>
> Der 1. Hauptminor wäre -48 und der 2. (-48)*(-6) - 12*12 =
> 144
> Also müsste die Hessematrix doch eigentlich negativ
> definit sein!
Also ist bei $(x,y)=(-8,-16)$ ein lok. Maximum!
>
> Irgendwie bin ich grad verwirrt, zumindest auf Hinblick zum Plot.
Naja, wenn du den fraglichen Bereich auch nicht mit plottest ...
Plotte mal im x- und y-Bereich von -20..20, dann kann man einen kleinen Hügel erahnen ...
>
> Vielen Dank schonmal!!!
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Di 20.10.2009 | | Autor: | daN-R-G |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht so mit bloßem Auge trotzdem noch irgendwie so aus, als würde es immer weiterwachsen. Auch der kleine Hügel....
Also sollte ich mir merken, die Plots besser mal zu erweitern.
Vielen Dank! ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo daN-R-G,
das sieht auf dem Plot nur so aus, als würde es immer weiter wachsen, weil es so gering wieder runter geht. Guck dir doch mal eine Ansicht der Funktion von [mm] x_{1} [/mm] = -7 bis -9, [mm] x_{2} [/mm] = -15 bis -17 an  , allerdings mit z = 250 .. 256. Dann dürftest du in etwa so etwas sehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Zu (b)
>
> Beim Plotten bekam ich schonmal so einen schönen
> Eierkarton. Das würde ja schonmal gut zum
> sinus/cosinus-Gebilde passen.
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1}[/mm] = [mm]cos(x_1) cos(x_2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2}[/mm] = [mm]sin(x_1) (-sin(x_2))[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1}[/mm] = [mm]-sin(x_1) cos(x_2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_1}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_2}[/mm]
> = [mm]cos(x_1) (-(sin(x_2))[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_2}[/mm]
> = [mm]sin(x_1) (-cos(x_2))[/mm]
>
> Bin mir leider nicht ganz sicher, ob die auch richtig
> sind.
Die sind alle richtig .
> Somit ergibt sich, um die krit. Punkte zu bestimmen:
>
> grad (f) = [mm]\vektor{cos(x_1) cos(x_2) \\ sin(x_1) (-sin(x_2))}[/mm]
> = 0
> Da ich jetzt nicht genau weiß, wie ich das "schematisch"
> lösen soll, habe ich geschaut, wann sinus bzw. cosinus 0
> werden. Denn wenn einer der Faktoren 0 ist, dann ja auch
> das Produkt.
Das ist ja schematisch lösen . Es gibt also kritische Punkte, wenn [mm] \cos(x_1) [/mm] = 0 und [mm] \sin(x_2) [/mm] = 0 oder [mm] \cos(x_2) [/mm] = 0 und [mm] \sin(x_1) [/mm] = 0.
> Jetzt habe ich nur die Punkte aus dem Intervall [0,
> [mm]\bruch{3}{2}\pi][/mm] betrachtet, da sinus bzw. cosinus ja [mm]2\pi[/mm]
> - periodisch sind. Reicht das ganze wohl so?
Naja, eigentlich untersuchst du ja das Intervall [mm] $[0,2*\pi)$, [/mm] nicht [mm][0,\bruch{3}{2}\pi][/mm]. Ich vermute aber, dass du das so hingeschrieben hast, weil nur in diesem Intervall kritische Punkte auftreten. Schreib es trotzdem besser so wie ich oben.
> Als kritische Punkte bekäme ich dann
> (1) [mm](\bruch{\pi}{2},[/mm] 0) (2) [mm](\bruch{\pi}{2}, \pi)[/mm]
>
> (3) [mm](\bruch{3}{2}\pi,[/mm] 0) (4) [mm](\bruch{3}{2}\pi, \pi)[/mm]
>
> (5) (0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] (6) (0, [mm]\bruch{3}{2}\pi)[/mm]
>
> (7) [mm](\pi, \bruch{\pi}{2})[/mm] (8) [mm](\pi, \bruch{3}{2}\pi)[/mm]
Die sind schon mal richtig
> Punkte 5-8 würden bei mir wieder nach
> Hauptminoren-Kriterium rausfallen, weil das erste Element
> der Matrix 0 ist.
>
> Minima wären bei mir (1) und (4) , (2) und (3) Maxima
Damit kenne ich mich leider nicht so aus, aber du hast ja die Hesse-Matrix hingeschrieben:
$Hess(f) = [mm] \pmat{ -sin(x_1) cos(x_2) & cos(x_1) (-(sin(x_2)) \\ cos(x_1) (-(sin(x_2)) & sin(x_1) (-cos(x_2)) }$
[/mm]
Bei den ersten vier Punkten (1 bis 4) gilt ja [mm] \cos(x_1) [/mm] = 0 und [mm] \sin(x_2) [/mm] = 0, also ist dann schonmal
$Hess(f) = [mm] \pmat{ -sin(x_1) cos(x_2) & 0\\ 0 & sin(x_1) (-cos(x_2)) }$, [/mm]
Z.B. Punkt 1 [mm](\bruch{\pi}{2},[/mm] 0) : [mm] \pmat{ -1 & 0\\ 0 & -1 } [/mm] ist dann die Matrix negativ definit, also liegt hier ein Maximum vor. Für die anderen wird das dann analog der Fall sein.
beiden anderen vier Punkten (5 bis 8) ist hingegen
[mm] \cos(x_2) [/mm] = 0 und [mm] \sin(x_1) [/mm] = 0, also:
$Hess(f) = [mm] \pmat{ 0 & -cos(x_1)sin(x_2) \\ -cos(x_1) sin(x_2) & 0 }$
[/mm]
Du hast recht, für z.B. Punkt 5 (0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]: $Hess(f) = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }$ [/mm] ist die Hessematrix indefinit, so wird sie dann auch für alle andern Punkte 6 bis 8 aussehen. Da muss ich leider an andere Forenmitglieder weiterleiten, weil ich mich nicht auskenne, was man noch machen kann, wenn Eigenwert- und Hauptminoren-Kriterium versagen.
Grüße,
Stefan
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Hallo daN-R-G,
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf lokale
> Extrema:
> (a) [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]x_1^3[/mm] + [mm]12x_1x_2[/mm] - [mm]3x_2^2[/mm]
> (b) [mm]f(x_1,x_2)[/mm] = [mm]sin(x_1)cos(x_2)[/mm]
> Hallo!
>
> Ich sitze gerade an dieser Aufgabe, bin mir aber nicht ganz
> sicher.
>
> Zu (a)
> Ich habe also zunächst die partiellen Ableitungen
> berechnet.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]3x_1^2[/mm] + [mm]12x_2[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]12x_1[/mm] - [mm]6x_2[/mm]
>
> und weiterhin
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1}(x_1,x_2)[/mm] = [mm]6x_1[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_1,x_2)[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_1}(x_2,x_1)[/mm] = 12
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_2x_2}(x_1,x_2)[/mm] = -6
>
> Nun muss ja weiterhin gelten, dass grad(f) = [mm]\vektor{3x_1^2 + 12x_2 \\ 12x_1 - 6x_2}[/mm]
> = 0
>
> Muss ich nun einfach das Gleichungssystem lösen, um auf
> die kritischen Punkte zu kommen? Einer wäre durch hinsehen
> ja schonmal (0,0).
>
> Habe ich nun
>
> [mm]3x_1^2[/mm] + [mm]12x_2[/mm] = 0
> [mm]12x_1[/mm] - [mm]6x_2[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow x_2[/mm] = 2 , in die 1. Gleichung eingesetzt macht
> [mm]x_1^2[/mm] = -8, was aber in [mm]\IR[/mm] nicht möglich ist.
> Heißt das, dass es keine weiteren kritischen Punkte
> gibt?
>
> Es gilt ja, dass Hess f = [mm]\pmat{ 6x_1 & 12 \\ 12 & -6 }[/mm]
>
> Wenn ich [mm]x_1[/mm] nun als 0 setze, kann die Matrix ja schon nach
> Hauptminoren-Kriterium ja nicht mehr pos. bzw. negativ
> definit sein.
>
> Bedeutet das nun insgesamt, dass die Funktion kein lokales
> Extremum besitzt? Ich habe die Funktion mal geplottet, und
> da kam so nen "gebogenes Papier" bei raus, was an den Ecken
> immer größer bzw. kleiner wurde.
> Ich weiß aber leider nicht, ob mein Plot richtig war.
>
> Zu (b)
>
> Beim Plotten bekam ich schonmal so einen schönen
> Eierkarton. Das würde ja schonmal gut zum
> sinus/cosinus-Gebilde passen.
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1}[/mm] = [mm]cos(x_1) cos(x_2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2}[/mm] = [mm]sin(x_1) (-sin(x_2))[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_1}[/mm] = [mm]-sin(x_1) cos(x_2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_1}[/mm] = [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_1x_2}[/mm]
> = [mm]cos(x_1) (-(sin(x_2))[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f^2}{\partial x_2x_2}[/mm]
> = [mm]sin(x_1) (-cos(x_2))[/mm]
>
> Bin mir leider nicht ganz sicher, ob die auch richtig
> sind.
>
> Somit ergibt sich, um die krit. Punkte zu bestimmen:
>
> grad (f) = [mm]\vektor{cos(x_1) cos(x_2) \\ sin(x_1) (-sin(x_2))}[/mm]
> = 0
> Da ich jetzt nicht genau weiß, wie ich das "schematisch"
> lösen soll, habe ich geschaut, wann sinus bzw. cosinus 0
> werden. Denn wenn einer der Faktoren 0 ist, dann ja auch
> das Produkt.
>
> Jetzt habe ich nur die Punkte aus dem Intervall [0,
> [mm]\bruch{3}{2}\pi][/mm] betrachtet, da sinus bzw. cosinus ja [mm]2\pi[/mm]
> - periodisch sind. Reicht das ganze wohl so?
>
> Als kritische Punkte bekäme ich dann
> (1) [mm](\bruch{\pi}{2},[/mm] 0) (2) [mm](\bruch{\pi}{2}, \pi)[/mm]
>
> (3) [mm](\bruch{3}{2}\pi,[/mm] 0) (4) [mm](\bruch{3}{2}\pi, \pi)[/mm]
>
> (5) (0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] (6) (0, [mm]\bruch{3}{2}\pi)[/mm]
>
> (7) [mm](\pi, \bruch{\pi}{2})[/mm] (8) [mm](\pi, \bruch{3}{2}\pi)[/mm]
>
> Punkte 5-8 würden bei mir wieder nach
> Hauptminoren-Kriterium rausfallen, weil das erste Element
> der Matrix 0 ist.
>
> Minima wären bei mir (1) und (4) , (2) und (3) Maxima
>
> Hier bin ich mir leider absolut garnicht sicher.
> Trigonometrische Funktionen waren noch nie meine Freunde.
>
> Kann mir vll. jemand helfen bzw. sagen, was falsch sein
> könnte?
> Hoffentlich liest sich jemand den ganzen Kram überhaupt
> durch ;)
>
> Edit: Ganz vergessen: Hess f = [mm]\pmat{ -sin(x_1) cos(x_2) & cos(x_1) (-(sin(x_2)) \\ cos(x_1) (-(sin(x_2)) & sin(x_1) (-cos(x_2)) }[/mm]
>
Nach steppenhahn's Artikel sind noch die Punkte (5)-(8) zu klären.
Siehe hier dazu ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mi 21.10.2009 | | Autor: | daN-R-G |
Hallo ihr beiden! Danke erstmal, für eure Antworten! :)
Aber was genau meinst du damit, dass die noch zu klären sind?
Nach Hauptminoren Kriterium ist eine Matrix pos. Definit, wenn alle Hauptminoren größer als 0 sind. Das sind ja die Determinanten, die man berechnet, indem man zuerst a_11 betrachtet, und dann immer um eine Zeile nach rechts und unten erweitert.
Bei einer 2x2-Matrix also [mm] det(a_{11}) [/mm] und det [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}.
[/mm]
Bei einer 3x3-Matrix wäre es dann [mm] det(a_{11}), [/mm] det [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] und [mm] det\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}
[/mm]
Negativ definit wäre sie, wenn die Hauptminoren alternieren, beginnend mit einem Negativen Wert.
Punkte (5) und (6) haben als [mm] x_1 [/mm] den Wert 0. Nun ist [mm] a_{11} [/mm] der Hesse-Matrix nen Produkt aus [mm] -sin(x_1) [/mm] und [mm] cos(x_2), [/mm] also auch Null (wegen -sin(0) = 0) und können dementsprechend weder pos. noch negativ sein. Also muss ich doch garnicht mehr weiter schauen, oder?
Bei (7) und (8) das gleiche, nur mit [mm] \pi, [/mm] da [mm] -sin(\pi) [/mm] ja auch = 0 ist.
Oder habe ich da irgendwas durcheinander gebracht?
Und um noch einmal auf das Interval zu kommen: Wenn ich [0, [mm] 2\pi] [/mm] betrachten würde, dann würde ich bei [mm] 2\pi [/mm] ja die gleiche Extremstelle betrachten wie bei 0, nur halt um eine Periode verschoben.
Ich weiß nicht, ob die Aufgabenstellung nicht ganz eindeutig ist. Denn auf [mm] (-\infty, \infty) [/mm] gäbe es ja unendlich viele lokale Extrema.
Ist doch richtig, oder? Bitte korrigieren, wenn ich stuss rede :)
Aber deswegen habe ich das ganze bis [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] betrachtet. Weiß aber nicht genau, wie man das generell macht sonst.
Und nochmal: Danke fürs anschauen und helfen!
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Hallo daN-R-G,
> Hallo ihr beiden! Danke erstmal, für eure Antworten! :)
>
> Aber was genau meinst du damit, dass die noch zu klären
> sind?
Bis vor meinem Post, war die Frage als teilweise beantwortet markiert.
Das heisst, bei dem Post von steppenhahn waren bei den Punkte (5) bis (8)
die Frage nach der Art des Extremas bzw. wie man das feststellt offen.
>
> Nach Hauptminoren Kriterium ist eine Matrix pos. Definit,
> wenn alle Hauptminoren größer als 0 sind. Das sind ja die
> Determinanten, die man berechnet, indem man zuerst a_11
> betrachtet, und dann immer um eine Zeile nach rechts und
> unten erweitert.
>
> Bei einer 2x2-Matrix also [mm]det(a_{11})[/mm] und det [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}.[/mm]
>
> Bei einer 3x3-Matrix wäre es dann [mm]det(a_{11}),[/mm] det [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm]
> und [mm]det\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}[/mm]
>
> Negativ definit wäre sie, wenn die Hauptminoren
> alternieren, beginnend mit einem Negativen Wert.
>
> Punkte (5) und (6) haben als [mm]x_1[/mm] den Wert 0. Nun ist [mm]a_{11}[/mm]
> der Hesse-Matrix nen Produkt aus [mm]-sin(x_1)[/mm] und [mm]cos(x_2),[/mm]
> also auch Null (wegen -sin(0) = 0) und können
> dementsprechend weder pos. noch negativ sein. Also muss ich
> doch garnicht mehr weiter schauen, oder?
Ja.
>
> Bei (7) und (8) das gleiche, nur mit [mm]\pi,[/mm] da [mm]-sin(\pi)[/mm] ja
> auch = 0 ist.
>
> Oder habe ich da irgendwas durcheinander gebracht?
>
> Und um noch einmal auf das Interval zu kommen: Wenn ich [0,
> [mm]2\pi][/mm] betrachten würde, dann würde ich bei [mm]2\pi[/mm] ja die
> gleiche Extremstelle betrachten wie bei 0, nur halt um eine
> Periode verschoben.
> Ich weiß nicht, ob die Aufgabenstellung nicht ganz
> eindeutig ist. Denn auf [mm](-\infty, \infty)[/mm] gäbe es ja
> unendlich viele lokale Extrema.
> Ist doch richtig, oder? Bitte korrigieren, wenn ich stuss
> rede :)
Das ist richtig.
>
> Aber deswegen habe ich das ganze bis [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm]
> betrachtet. Weiß aber nicht genau, wie man das generell
> macht sonst.
Da es sich hier um eine periodische Funktion handelt,
ist auch nur eine Periode zu betrachten.
Hier ist also nur das Intervall [mm]\left[0,2\pi\right[ \times \left[0,2\pi\right[[/mm] zu betrachten.
>
>
> Und nochmal: Danke fürs anschauen und helfen!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mi 21.10.2009 | | Autor: | daN-R-G |
Supi!
Dann habe ich alles verstanden!
Daaaanke!
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