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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Hallo, ich möchte alle lokalen Maxima und Minima der Funktion f: [-1,10] -> [mm] \IR [/mm] mit
f(x) = [mm] x^{n}*e^{-x} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] bestimmen |
Also hab ich erstmal die ersten zwei Ableitungen gebildet:
f'(x) = [mm] e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}
[/mm]
und
f''(x) = [mm] e^{-x}*x^{n-2}*(n^{2}-n*(2x+1)+x^{2})
[/mm]
Normalerweise würde man ja jetzt f'(x) = 0 setzen und die Stellen in f''(x) einsetzen um die Funktionswerte zu den Extremstellen zu berechnen...
Nur mit [mm] e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}= [/mm] 0 kommt man ja nicht wirklich weiter oder?
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Di 03.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Hallo, ich möchte alle lokalen Maxima und Minima der
> Funktion f: [-1,10] -> [mm]\IR[/mm] mit
> f(x) = [mm]x^{n}*e^{-x}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] bestimmen
> Also hab ich erstmal die ersten zwei Ableitungen
> gebildet:
>
> f'(x) = [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}[/mm]
stimmt.
> Normalerweise würde man ja jetzt f'(x) = 0 setzen und die
> Stellen in f''(x) einsetzen um die Funktionswerte zu den
> Extremstellen zu berechnen...
>
> Nur mit [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}=[/mm] 0 kommt man ja nicht
> wirklich weiter oder?
Doch, dein Ansatz ist schon richtig. Wann gilt denn [mm]e^{-x}*(n-x)*x^{n-1}=0[/mm]?
Betrachte dabei die einzelnen Faktoren. Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. Nun gilt [mm]e^{-x}>0[/mm] für alle x im Defintionsbereich! Wichtig: Achte auf den angegebenen Definitionsbereich. Der ist wichtig für die beiden anderen Faktoren.
>
>
> Gruß
>
> D-C
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte, müsste
[mm] e^{-x}=0 [/mm] nur bei [mm] e^{0}
[/mm]
(n-x)=0 bei n=x
und [mm] x^{n-1} [/mm] immer positiv
sein!?
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Di 03.07.2012 | | Autor: | barsch |
> Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> müsste
>
> [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm] $e^0=1$ [/mm] - in meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm] $e^{-x}>0$.
[/mm]
>
> (n-x)=0 bei n=x
Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den Def.-Bereich von f achten!
> und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
Wirklich? Was ist mit x=0?
> sein!?
>
>
> Gruß
> D-C
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
>
> > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > müsste
> >
> > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
>
> um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
>
Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt.. ; ) natürlich ist das >0 .
> > (n-x)=0 bei n=x
>
> Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> Def.-Bereich von f achten!
Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
>
>
> > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
>
> Wirklich? Was ist mit x=0?
Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
> > sein!?
> >
> >
> > Gruß
> > D-C
>
> Gruß
> barsch
>
Gruß
D-C
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
> >
> > > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > > müsste
> > >
> > > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
> >
> > um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> > meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
> >
>
> Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch
> aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt..
> ; ) natürlich ist das >0 .
>
> > > (n-x)=0 bei n=x
> >
> > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > Def.-Bereich von f achten!
>
> Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
> >
> >
Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?
> > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
> >
> > Wirklich? Was ist mit x=0?
>
> Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
>
> > > sein!?
> > >
Gruß
D-C
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Hallo,
zitiere doch mit etwas Bedacht, unnötiges Zeug kannst du löschen ...
> > > > (n-x)=0 bei n=x
> > >
> > > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > > Def.-Bereich von f achten!
> >
> > Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> > grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> > nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
> > >
> > >
>
> Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei
> [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?
Na, oben und unten stehen doch alle potentiellen Nullstellen:
[mm]x=n[/mm] und [mm]x=0[/mm]
[mm]x=0[/mm] liegt immer, also für alle $n$ im Definitionsbereich.
Aber ab [mm]n=11[/mm] liegt doch [mm]x=n=11[/mm] nicht mehr im Definitionsbereich, da kann also keine Nullstelle oder sonstwas sein ...
Schreib' nochmal zusammenfassend und schön sauber auf, wie die Nullstellen von [mm]f'[/mm] in Abhängigkeit von [mm]n[/mm] lauten.
>
> > > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
> > >
> > > Wirklich? Was ist mit x=0?
> >
> > Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 03.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > > Also wenn ich zuerst einmal die Faktore einzeln betrachte,
> > > > müsste
> > > >
> > > > [mm]e^{-x}=0[/mm] nur bei [mm]e^{0}[/mm]
> > >
> > > um die Uhrzeit schleichen sich Fehler ein. [mm]e^0=1[/mm] - in
> > > meiner 1. Antwort hatte ich geschrieben, dass [mm]e^{-x}>0[/mm].
> > >
> >
> > Das ich da Quatsch geschrieben habe ist mir auch
> > aufgefallen , aber da hatte ich schon auf senden geklickt..
> > ; ) natürlich ist das >0 .
> >
> > > > (n-x)=0 bei n=x
> > >
> > > Ja - gilt das auch, wenn n=11? Wie gesagt, auf den
> > > Def.-Bereich von f achten!
> >
> > Hier muss ich mir noch Gedanken zu machen, da sehe ich
> > grade noch nichts besonderes. Da überlege ich morgen früh
> > nochmal was, zu einer besseren Uhrzeit.. : )
> > >
> > >
>
> Also der Definitionsbereich liegt ja eigentlich bei
> [-1,10], aber was hilft mir das jetzt genau ?
Nehmen wir mal den Fall n=1, also [mm] f(x)=xe^{-x}
[/mm]
Dann ist f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=1. Es ist f(1)=1/e
bei x=1 hast Du also ein relatives Extremum
Nun Schau Dir mal f(-1) an.
FRED
>
>
> > > > und [mm]x^{n-1}[/mm] immer positiv
> > >
> > > Wirklich? Was ist mit x=0?
> >
> > Bei x=0 ist der Faktor auch 0 bemerke ich grade.
> >
> > > > sein!?
> > > >
>
> Gruß
> D-C
>
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:53 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
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> Nehmen wir mal den Fall n=1, also [mm]f(x)=xe^{-x}[/mm]
>
> Dann ist f'(x)=0 [mm]\gdw[/mm] x=1. Es ist f(1)=1/e
>
> bei x=1 hast Du also ein relatives Extremum
>
> Nun Schau Dir mal f(-1) an.
>
> FRED
Das sollte dann so aussehen?
[mm] f(-1)=e*(-1)^n
[/mm]
f [mm] (0)=0^n
[/mm]
f(1)=1/e (s.o.)
f [mm] (2)=2^n/e^2
[/mm]
f [mm] (3)=3^n/e^3
[/mm]
f [mm] (4)=4^n/e^4
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] f(10)=10^n/e^{10}
[/mm]
Gruß
D-C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 05.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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