Lokale Extrema bestimmen! < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von folgender Fkt f:
f(x,y,z) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] * x² - y² - z² + z*y + x + y + z . |
Ich habe so weit gerechnet, dass ich für x,y und z Werte rausbekommen habe. Überall kommt 1 raus. (also x=1, y=1, z=3). (btw: was genau nennt man hier kritische Punkte?)
Dann habe ich die Hessische Matrix bestimmt:
[mm] H_{f} [/mm] (1,1,1) = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
Wie fahre ich nun fort, um die Extrema zu bestimmen. Wahrscheinlich mit dem char. Polynom, oder?
[mm] \vmat{ -1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -2-\lambda } [/mm] =0
Was muss ich nun tun, damit ich die Extrema bekomme und entscheiden kann, ob die Hessische Matrix definiet ist oder nicht?
Ich danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 15.07.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
erst einmal musst du den Gradienten berechnen. Den sehe ich bei dir jetzt nicht! Wie kommst du auf x=1, y=1 und z=3? Um auf diese Werte zu kommen, müsstest du doch wissen, was ein kritischer Punkt ist. 
Wie berechnet man den Gradienten:
[mm] \text{grad f}=\nabla{f}=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}},\bruch{\partial{f}}{\partial{z}})
[/mm]
Der bzw. die kritischen Punkte (x,y,z) erfüllen die Gleichung:
[mm] \nabla{f}=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}},\bruch{\partial{f}}{\partial{z}})\red{=(0,0,0)}
[/mm]
> Wie fahre ich nun fort, um die Extrema zu bestimmen.
> Wahrscheinlich mit dem char. Polynom, oder?
>
> [mm]\vmat{ -1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -2-\lambda }[/mm]
> =0
>
> Was muss ich nun tun, damit ich die Extrema bekomme und
> entscheiden kann, ob die Hessische Matrix definiet ist oder
> nicht?
Welche Eigenschaft die kritischen Punkte haben (Maximum,Minimum,Sattelpunkt), kannst du über die Berechnung der Eigenwerte ermitteln oder über die Hauptminoren.
Über die Eigenwerte der Hesse-Matrix:
Hesse-Matrix positiv definit (der Fall, wenn alle Eigenwerte größer 0 sind),
so befindet sich dort ein Minimum der Funktion f.
Hesse-Matrix negativ definit (der Fall, wenn alle Eigenwerte kleiner 0 sind),
so befindet sich dort ein Maximum der Funktion f.
Hesse-Matrix indefinit (der Fall, wenn positive und negative Eigenwerte existieren), so befindet sich dort ein Sattelpunkt der Funktion f.
Bei Semidefinitheit kann man damit keine Aussage treffen - da gibt es dann einen anderen Weg, mit dem man prüfen kann, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt handelt. Aber den kenne ich im Moment nicht. In den meisten Fällen kommt man jedoch mit der Berechnung der Eigenwerte weiter.
Und ansonsten: Einfach noch mal nachfragen, falls etwas unverständlich ist!
MfG barsch
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Dankeschön erstmal, aber wie ermittel ich die Eigenwerte dieser Hessenmatrix? Mit dem charakteristischen Polynom oder?
In diesem Fall:
[mm] (-1-\lambda) [/mm] [ [mm] (-2-\lambda)² [/mm] - 1 ] = 0
Mein Tutor hat als Eigenwerte /lambda = -1 v /lambda = -3 v /lambda = -1 heraus...Wie kommt man auf diese Werte?
Danke schonmal...
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> Dankeschön erstmal, aber wie ermittel ich die Eigenwerte
> dieser Hessenmatrix? Mit dem charakteristischen Polynom
> oder?
>
> In diesem Fall:
>
> [mm](-1-\lambda)[/mm] [ [mm](-2-\lambda)²[/mm] - 1 ] = 0
>
> Mein Tutor hat als Eigenwerte [mm] \lambda= [/mm] -1 v [mm] \lambda [/mm] = -3 v [mm] \lambda [/mm] = -1 heraus...
> Wie kommt man auf diese Werte?
Hallo,
die Eigenwerte sind die Nullstellen des charaktoristischn Polynoms, und diese hat Dein Tutor berechnet.
Gruß v. Angela
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Sorry, aber wie komm ich dann auf die Nullstellen des charakterischen Polynoms?
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Hallo ElDennito,
> Sorry, aber wie komm ich dann auf die Nullstellen des
> charakterischen Polynoms?
Hmm, zu lösen ist die Gleichung
[mm] $(-1-\lambda)\cdot{}[(-2-\lambda)^2-1]=0$
[/mm]
Das ist ein Produkt, das Null ist, genau dann wenn mind. einer der Faktoren =0 ist, also [mm] $(-1-\lambda)=0$ [/mm] oder [mm] $(-2-\lambda)^2-1=0$
[/mm]
Der erste Faktor liefert dir direkt die NST [mm] $\lambda=-1$
[/mm]
Beim 2.Faktor multipliziere das Binom aus, fasse zusammen, dann mit der p/q-Formel drauf los...
LG
schachuzipus
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Ok, das erste Lambda kriege ich raus. Aber ich hab grad Probleme mit dem zweiten Faktor...
Im folgenden meine Rechenausführungen...
[mm] (-1-\lambda) [/mm] * [mm] [(-2-\lambda)² [/mm] - 1 ]
=> [mm] \lambda [/mm] = -1
[mm] (-1-\lambda) [/mm] * (4+ [mm] 2\lambda [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] - [mm] \lambda [/mm] ² - 1 )
= [mm] (-1-\lambda) [/mm] * (3 + [mm] 4\lambda [/mm] - [mm] \lambda² [/mm] )
= -3 - [mm] 4\lambda [/mm] + [mm] \lambda [/mm] ² - [mm] 3\lambda [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] ² + [mm] \lambda [/mm] ³
= [mm] \lambda [/mm] ³ - [mm] 3\lambda [/mm] ² - [mm] 7\lambda [/mm] - 3
= [mm] \lambda [/mm] - [mm] (\lambda [/mm] ² - [mm] 3\lambda [/mm] - 7)
Und nun die pq Formel
[mm] \bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{9}{4}) + 7}
[/mm]
Mein Tutor hat raus... [mm] \lambda [/mm] =-3 und [mm] \lambda [/mm] = -1
Ich komm da nicht drauf.
Wo ist mein Fehler? Danke!
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Hallo nochmal,
> Ok, das erste Lambda kriege ich raus. Aber ich hab grad
> Probleme mit dem zweiten Faktor...
>
> Im folgenden meine Rechenausführungen...
>
> [mm](-1-\lambda)[/mm] * [mm][(-2-\lambda)²[/mm] - 1 ]
>
> => [mm]\lambda[/mm] = -1
>
> [mm](-1-\lambda)[/mm] * (4+ [mm]2\lambda[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] - [mm]\lambda[/mm] ² - 1 )
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da ist beim Auflösen der binomischen Formel etwas mit den VZ schiefgelaufen.
Es ist doch [mm] $(-2-\lambda)^2=\left[(-1)\cdot{}(2+\lambda)\right]^2=(2+\lambda)^2=4+4\lambda\red{+}\lambda^2$
[/mm]
Mache damit mal weiter, dann kommst du auch auf die "schönen" Lösungen
>
> = [mm](-1-\lambda)[/mm] * (3 + [mm]4\lambda[/mm] - [mm]\lambda²[/mm] )
>
> = -3 - [mm]4\lambda[/mm] + [mm]\lambda[/mm] ² - [mm]3\lambda[/mm] - [mm]4\lambda[/mm] ² +
> [mm]\lambda[/mm] ³
> = [mm]\lambda[/mm] ³ - [mm]3\lambda[/mm] ² - [mm]7\lambda[/mm] - 3
> = [mm]\lambda[/mm] - [mm](\lambda[/mm] ² - [mm]3\lambda[/mm] - 7)
>
> Und nun die pq Formel
>
> [mm]\bruch{3}{2} \pm \wurzel{(\bruch{9}{4}) + 7}[/mm]
>
> Mein Tutor hat raus... [mm]\lambda[/mm] =-3 und [mm]\lambda[/mm] = -1
> Ich komm da nicht drauf.
>
> Wo ist mein Fehler? Danke!
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren die absoluten (d.h. globalen) Extrema von folgender Funktion:
f(x,y) = x + [mm] \bruch{y}{2}
[/mm]
unter der Nebenbedingung R = {(x,y) [mm] \varepsilon \IR² [/mm] | x² + [mm] \bruch{y²}{2} [/mm] = 1} |
Mittels Lagrangeschen Multiplikationssatz bekomme ich drei Gleichungen heraus:
1 + [mm] 2x\lambda [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] + y [mm] \lambda [/mm] = 0
x² + [mm] \bruch{y²}{2} [/mm] - 1 = 0
Nun kann ich (I) und (II) so umformen, dass gilt: x=y
Aber nun weiß ich nicht, wie ich fortfahren soll? Kann mir das einer erklären? Ich danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die 3. Gleichung
x² + $ [mm] \bruch{y²}{2} [/mm] $ - 1 = 0
solltest Du auch benutzen. Es ist richtig, dass x=y ist. Setze das in die 3. Gl. ein, Du bekommst dann 2 Werte für x.
FRED
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Danke erstmal, aber da hak ich:
x² + [mm] \bruch{y²}{2} [/mm] -1 = 0
x=y
Setz ich jetzt immer wo "x" steht "y" ein und umgekehrt?
Also:
y² + [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] - 1 = 0
Und dann pq Formel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !!
Du hast
x² + $ [mm] \bruch{y²}{2} [/mm] $ -1 = 0
und
x=y .
Für y setzt Du x, dann
x² + $ [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] $ -1 = 0,
also [mm] x^2 [/mm] = 2/3
FRED
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Wahrscheinlich eine selten dämliche Frage, aber trotzdem:
Löst du die Gleichung mit der pq Formel? Ich weiß nämlich nicht, wie du auf die 2/3 kommst.
Ich danke für dein/euer Verständnis bzw Nachsehen... 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 25.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast
x² + $ [mm] \bruch{x²}{2} [/mm] $ -1 = 0,
also (3/2)x² = 1, somit x² = 2/3
FRED
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