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Hallo,
ich habe eine Behauptung aufgestellt, und frage mich, ob das so stimmen könnte:
Sei I ein offenes Intervall, und f: I [mm] \to [/mm] IR eine differenzierbare Funktion. Sei [mm] x_0 \in [/mm] I eine lokale Minimumstelle.
Behauptung: [mm] \exists \delta [/mm] > 0, sodass gelten:
(i) f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (x_0,x_0 [/mm] + [mm] \delta)
[/mm]
(ii) f'(x) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in (x_0 [/mm] - [mm] \delta,x_0)
[/mm]
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Hallo,
das stimmt natürlich. Das folgt, wenn nicht unmittelbar bereits aus den Eigenschaften bzw der Definition einer lokalen Exstremstelle (ist das nicht ohnehin trivial?), aus dem Zwischenwertsatz bzw dem Satz von Darboux.
Viele Grüße,
ChopSuey
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Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig?) mit dem Mittelwertsatz bewiesen.
Mit ist kein Weg eingefallen, wie ich das mit dem Zwischenwertsatz beweisen kann.
Beweis:
Da [mm] x_0 [/mm] eine lokale Minimumstelle ist, existiert ein r > 0 so, dass f(x) [mm] \ge f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in (x_0-r,x_0+r) [/mm] gilt.
[mm] \Rightarrow f(x)-f(x_0) \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in (x_0-r,x_0+r)
[/mm]
Sei x [mm] \in (x_0,x_0+r). [/mm] Es folgt mit dem Mittelwertsatz: [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = f'(a) [mm] \ge [/mm] 0 für ein a [mm] \in (x_0,x), [/mm] da [mm] x-x_0 [/mm] > 0. Da dies für beliebige x gilt, folgt: f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in (x_0,x_0+r).
[/mm]
Den anderen Teil beweist man analog.
[mm] \Box
[/mm]
Ist das so richtig?
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Hallo,
> Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig?) mit dem
> Mittelwertsatz bewiesen.
> Mit ist kein Weg eingefallen, wie ich das mit dem
> Zwischenwertsatz beweisen kann.
>
> Beweis:
>
> Da [mm]x_0[/mm] eine lokale Minimumstelle ist, existiert ein r > 0
> so, dass f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
> gilt.
> [mm]\Rightarrow f(x)-f(x_0) \ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
Ja.
>
> Sei x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm] Es folgt mit dem Mittelwertsatz:
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = f'(a) [mm]\ge[/mm] 0 für ein a [mm]\in (x_0,x),[/mm]
> da [mm]x-x_0[/mm] > 0.
> Da dies für beliebige x gilt, folgt: f'(x)
> [mm]\ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm]
>
> Den anderen Teil
> beweist man analog.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja, das sieht m.E. gut aus!
Bzgl Zwischenwertsatz:
Für eine auf dem Intervall $ [a,b] \ [mm] \subseteq \IR [/mm] (a<b) $ gegebene differenzierbare Funktion $ f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] $, welche $ f'(a) [mm] \not= [/mm] f'(b) $ erfüllt, nimmt $ f' $ jeden Wert des offenen Intervalls $(f'(a),f'(b))$ im offenen Intervall $(a,b) $ an.
Da $ [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) $ ein lokales Minimum ist, gilt $ [mm] f'(x_0) [/mm] = 0 $, dann muss aber wegen $ a < b $ und $ f'(a) [mm] \not= [/mm] f'(b) $ entweder $ f'(a) < 0 < f'(b) $ oder $ f'(a) > 0 > f'(b) $ sein.
Insbesondere gilt dann für jedes $ [mm] \delta [/mm] > 0 $, dass $ [mm] f(x_0-\delta) [/mm] < 0 < [mm] f(x_0+\delta) [/mm] $ oder $ [mm] f(x_0-\delta) [/mm] > 0 > [mm] f(x_0+\delta) [/mm] $
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Di 30.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig?) mit dem
> Mittelwertsatz bewiesen.
> Mit ist kein Weg eingefallen, wie ich das mit dem
> Zwischenwertsatz beweisen kann.
>
> Beweis:
>
> Da [mm]x_0[/mm] eine lokale Minimumstelle ist, existiert ein r > 0
> so, dass f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
> gilt.
> [mm]\Rightarrow f(x)-f(x_0) \ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
>
> Sei x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm] Es folgt mit dem Mittelwertsatz:
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = f'(a) [mm]\ge[/mm] 0 für ein a [mm]\in (x_0,x),[/mm]
> da [mm]x-x_0[/mm] > 0. Da dies für beliebige x gilt, folgt: f'(x)
> [mm]\ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm]
> Den anderen Teil
> beweist man analog.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Hallo Blackburn,
Nein. Aus $f'(a) [mm] \ge [/mm] 0$ für ein $a [mm] \in (x_0-\delta; x_0)$ [/mm] folgt sicher nicht [mm] $f'(x)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in(x_0-\delta; x_0)\,.$
[/mm]
Nimm $f(x) = [mm] x^2*\sin \frac [/mm] 1 x$ für [mm] $x\ne [/mm] 0$ und $f(0) = [mm] 0\,.$
[/mm]
Dann gibt es in jeder Umgebung von $0$ ein $a$ mit $f'(a) [mm] \ge [/mm] 0$ aber auch ein $x$ mit $f'(x) < [mm] 0\;.$
[/mm]
Gruß
Wolfgang
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Bin jetzt verwirrt, der eine sagt das, der andere das...
Bei deinem Beispiel nehme ich mal an, dass [mm] x_0 [/mm] = 0 die Minimumstelle ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 30.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Bin jetzt verwirrt, der eine sagt das, der andere das...
> Bei deinem Beispiel nehme ich mal an, dass [mm]x_0[/mm] = 0 die
> Minimumstelle ist.
Ja. Jetzt ist es an Dir, zu entscheiden, wer Recht hat! Ich habe mein Beispiel übrigens noch nicht nachgeprüft! Ist 0 ein Minimum? Ist $f$ in 0 differenzierbar? Liegt in jedem Intervall [mm] $(-\delta; [/mm] 0)$ ein $x$ mit $f'(x) > [mm] 0\,?$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Di 30.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe das jetzt (hoffentlich richtig?) mit dem
> Mittelwertsatz bewiesen.
> Mit ist kein Weg eingefallen, wie ich das mit dem
> Zwischenwertsatz beweisen kann.
>
> Beweis:
>
> Da [mm]x_0[/mm] eine lokale Minimumstelle ist, existiert ein r > 0
> so, dass f(x) [mm]\ge f(x_0)[/mm] für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
> gilt.
> [mm]\Rightarrow f(x)-f(x_0) \ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0-r,x_0+r)[/mm]
>
> Sei x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm] Es folgt mit dem Mittelwertsatz:
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] = f'(a) [mm]\ge[/mm] 0 für ein a [mm]\in (x_0,x),[/mm]
> da [mm]x-x_0[/mm] > 0. Da dies für beliebige x gilt, folgt: f'(x)
> [mm]\ge[/mm] 0 für alle x [mm]\in (x_0,x_0+r).[/mm]
Nein. Das stimmt nicht.
Du hast nur gezeigt: zu jedem x [mm]\in (x_0,x_0+r)[/mm] gibt es ein a [mm]\in (x_0,x),[/mm] mit f'(a) [mm] \ge [/mm] 0.
(a hängt von x ab)
Schau mal da rein:
https://matheraum.de/read?i=963591
FRED
> Den anderen Teil
> beweist man analog.
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Di 30.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> ich habe eine Behauptung aufgestellt, und frage mich, ob
> das so stimmen könnte:
>
> Sei I ein offenes Intervall, und f: I [mm]\to[/mm] IR eine
> differenzierbare Funktion. Sei [mm]x_0 \in[/mm] I eine lokale
> Minimumstelle.
>
> Behauptung: [mm]\exists \delta[/mm] > 0, sodass gelten:
> (i) f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in (x_0,x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm]
> (ii) f'(x) [mm]\le[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in (x_0[/mm] - [mm]\delta,x_0)[/mm]
Blackburn, Deine Vermutung ist falsch. Die Funktion [mm] $f\colon \IR\to \IR$ [/mm] mit $f(x)= [mm] x^2\left(1+\sin \frac 1 x\right)$ [/mm] für [mm] $x\ne [/mm] 0$ und $f(0)=0$ liefert ein Gegenbeispiel.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
es ist f(x) = [mm] x^2(1 [/mm] + [mm] sin\bruch{1}{x}) [/mm] und f(0) = 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x, da [mm] x^2 \ge [/mm] 0 und [mm] sin\bruch{1}{x} \ge [/mm] -1 für alle x.
Daher hat f in [mm] x_0 [/mm] = 0 ein globales Minimum.
Bestimme f' für x [mm] \not= [/mm] 0.
f'(x) = 2x(1 + [mm] sin\bruch{1}{x}) [/mm] - [mm] cos\bruch{1}{x}
[/mm]
Meine Behauptung war, dass es ein r > 0 gibt, sodass f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 für x [mm] \in (x_0, x_0 [/mm] + r) und f'(x) [mm] \le [/mm] 0 für x [mm] \in (x_0 [/mm] - r, [mm] x_0), [/mm] wenn [mm] x_0 [/mm] eine lokale Minimumstelle ist.
Aber jetzt weiß ich nicht weiter, wie ich zeigen soll, dass es in jeder Umgebung von 0, ein x gibt, sodass meine Behauptung nicht stimmt...
Grüsse
Alexander
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Wolfgang,
>
> es ist f(x) = [mm]x^2(1[/mm] + [mm]sin\bruch{1}{x})[/mm] und f(0) = 0.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x, da [mm]x^2 \ge[/mm] 0 und
> [mm]sin\bruch{1}{x} \ge[/mm] -1 für alle x.
>
> Daher hat f in [mm]x_0[/mm] = 0 ein globales Minimum.
>
> Bestimme f' für x [mm]\not=[/mm] 0.
>
> f'(x) = 2x(1 + [mm]sin\bruch{1}{x})[/mm] - [mm]cos\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Meine Behauptung war, dass es ein r > 0 gibt, sodass f'(x)
> [mm]\ge[/mm] 0 für x [mm]\in (x_0, x_0[/mm] + r) und f'(x) [mm]\le[/mm] 0 für x [mm]\in (x_0[/mm]
> - r, [mm]x_0),[/mm] wenn [mm]x_0[/mm] eine lokale Minimumstelle ist.
>
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter, wie ich zeigen soll,
> dass es in jeder Umgebung von 0, ein x gibt, sodass meine
> Behauptung nicht stimmt...
Für k [mm] \in \IZ, [/mm] k [mm] \ne [/mm] 0 , betrachte [mm] x_k=\bruch{1}{k* \pi}
[/mm]
FRED
>
> Grüsse
> Alexander
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