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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
| Aufgabe | Integritätsring:
R={x/y: x,y [mm] \in \IZ, [/mm] y ungerade} [mm] \subset \IQ
[/mm]
a) Einheiten in R?
b) Sei a [mm] \not [/mm] = 0 Ideal. Zu zeigen: Es gibt k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] 2^k \in [/mm] a und es gilt: [mm] a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) } [/mm] R.
Insbesondere ist R ein Hauptidealring.
c) z.z. 2 ist primelement und jedes primelement ist assoziiert zu 2.
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Hallo, ich häng bei der Aufgabe seit gestern fest.
Also zu a)
Wenn x/y und a/b Einheiten sein sollen muss ja gelten: x/y a/b =1. Da y und b ungerade sind und nur ungerade mal ungerade auch ungerade ergibt müssen also x und a auch ungearde sein. Einheiten wäre also alle Brücher aus ungeraden zaheln aus [mm] \IZ. [/mm] Stimmt das schonmal?
zu b)
Ja da komm ich nicht weiter. Weiß einfach nicht we ich diese 2 da reinkrigen soll. Hab bei Wiki irgendwas von einem lokalen Ring gelesen und dass ein Ideal in diesem Fall gerade aus den Brüchen mit geraden Zahlen im Zähler besteht oder so aber ich komm da nicht drauf.
Also angenommen x/y ist ein Element aus dem Ideal a. dann muss ja mit a/b [mm] \in [/mm] R a/b x/y in a sein. Hilft mir das irgendwie? ich hab probiert mit der Definition des Ideals auf die Gestalt von Idealen inR zu schließen, aber das klappt nicht. Hat da jemand einen Tipp?
zu c)
Da muss ich ja zeigen wenn 2| ab dann gilt 2|a oder 2| b. oder weil es ja ein hauptidealring ist, dass 2 irreduzibel ist.
Habe mir das so gedacht:
Also seien x/y und a/b aus R und 2|a/b x/y , dann gibt es ja ein c [mm] \in [/mm] R mit 2c= (ax)/(cy) also 2c (cy)= ax, da 2c gerade ist und cy ungearde muss ax auf jedenfall gerade sein und ein produkt aus zwei zahlen ist ja genau dann gerade wenn mindestens eine der beiden zahlen gerade ist,also teilt 2 entweder a oder x. und damit teilt 2 auch entweder a/b oder x/y. Geht das so?
Zur Assoziiertheit hab ich noch keine Idee.
Hoffe mir kann jemand helfen :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin.
> Integritätsring:
> R={x/y: x,y [mm]\in \IZ,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y ungerade} [mm]\subset \IQ[/mm]
> a) Einheiten
> in R?
> b) Sei a [mm]\not[/mm] = 0 Ideal. Zu zeigen: Es gibt k [mm]\in \IN[/mm] mit
> [mm]2^k \in[/mm] a und es gilt: [mm]a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) }[/mm] R.
> Insbesondere ist R ein Hauptidealring.
> c) z.z. 2 ist primelement und jedes primelement ist
> assoziiert zu 2.
>
> Hallo, ich häng bei der Aufgabe seit gestern fest.
> Also zu a)
> Wenn x/y und a/b Einheiten sein sollen muss ja gelten: x/y
> a/b =1.
Nein, ganz sicher nicht. Warum soll das Produkt von irgendwechen Einheiten 1 sein?
Du meinst: "Wenn $x/y$ eine Einheit ist und $a/b$ die zugehoerige Inverse, dann muss ja gelten $x/y [mm] \cdot [/mm] a/b = 1$."
> Da y und b ungerade sind und nur ungerade mal
> ungerade auch ungerade ergibt müssen also x und a auch
> ungearde sein. Einheiten wäre also alle Brücher aus
> ungeraden zaheln aus [mm]\IZ.[/mm] Stimmt das schonmal?
Ja. Du musst es jetzt nur noch sauber aufschreiben.
> zu b)
> Ja da komm ich nicht weiter. Weiß einfach nicht we ich
> diese 2 da reinkrigen soll. Hab bei Wiki irgendwas von
> einem lokalen Ring gelesen und dass ein Ideal in diesem
> Fall gerade aus den Brüchen mit geraden Zahlen im Zähler
> besteht oder so aber ich komm da nicht drauf.
> Also angenommen x/y ist ein Element aus dem Ideal a. dann
> muss ja mit a/b [mm]\in[/mm] R a/b x/y in a sein. Hilft mir das
> irgendwie?
Ja.
> ich hab probiert mit der Definition des Ideals
> auf die Gestalt von Idealen inR zu schließen, aber das
> klappt nicht. Hat da jemand einen Tipp?
Nun, schau dir doch mal den Tipp an. Du sollst zeigen, dass $a$ von [mm] $2^{\min\{ k : 2^k \in a \}}$ [/mm] erzeugt wird.
Du musst zwei Dinge zeigen:
* es gibt ueberhaupt eine Zweierpotenz in $a$: dazu nimmst du dir irgendein Element [mm] $\neq [/mm] 0$ in $a$ und multiplizierst mit einer passenden Einheit;
* jedes Element im Ideal ist Vielfaches der kleinsten Zweierpotenz: dazu nimm dir ein Element und schreib es als Einheit mal Zweierpotenz.
> zu c)
> Da muss ich ja zeigen wenn 2| ab dann gilt 2|a oder 2| b.
Das ist ziemlich einfach, da du ja weisst, dass 2 ein Primelement in [mm] $\IZ$ [/mm] ist.
> Habe mir das so gedacht:
> Also seien x/y und a/b aus R und 2|a/b x/y , dann gibt es
> ja ein c [mm]\in[/mm] R mit 2c= (ax)/(cy) also 2c (cy)= ax, da 2c
> gerade ist und cy ungearde muss ax auf jedenfall gerade
Was bedeutet es fuer ein Element in $R$, gerade zu sein?! Schreib doch $c = [mm] \frac{d}{e}$ [/mm] und fuehre das ganze auf [mm] $\IZ$ [/mm] zurueck, da kannst du auch von geraden Zahlen reden!
> sein und ein produkt aus zwei zahlen ist ja genau dann
> gerade wenn mindestens eine der beiden zahlen gerade
> ist,also teilt 2 entweder a oder x. und damit teilt 2 auch
> entweder a/b oder x/y. Geht das so?
In etwa, ja.
> Zur Assoziiertheit hab ich noch keine Idee.
Nun. Nimm dir ein Primelement und schau dir das davon erzeugte Ideal an. Mit Hilfe von b) kannst du sagen, wie es aussieht. Dann ueberlege dir, dass es gleich dem von 2 erzeugten Ideal sein muss. Und daraus folgt (da $R$ ein Integritaetsring ist), dass $2$ assoziiert zum Primelement ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Super vielen dank schonmal für deine Antwort.
also:
zu a)
Falls a/b [mm] \in [/mm] R Einheit ist, dann existiert c/d in R mit a/b *c/d =1. <=> ac=db.
Da 2 nciht bd=ac teilt => 2 teilt nicht a und 2 teilt nicht c. Denn würde 2 o.B.d.A. a teilen, dann gäbe es k [mm] \in [/mm] R mit 2k=a also 2(kc)=ac und dann würde 2 auch ac=bd teilen.
Somit sind a und c ungerade und es folgt als Einheitenmenge:
R*={x/y|x,y [mm] \in \IZ, [/mm] x,y [mm] \not= [/mm] 0 und x,y ungerade}.
So ok?
zu b)
Da habe ich echt eine Denkblockade. Also sei x/y ein Element im Ideal a [mm] \not= [/mm] 0. D.h. y ist ungerade. Wenn ich mit einer Einheit multipliziere sind davon ja Nenner und Zähler ungerade. Also ich würde dann im Zähler schonmal y schreiben von der Einheit, dann würde sich das ja schonmal rauskürzen, aber x kann ja gerade oder ungerade sein. da weiß ich nicht weiter. ich seh den Zusammenhang zur 2 gar nicht, wieso gerade 2? Das wird ja irgendwas mit gerade und ungerade zu tun haben, aber ich komm da nicht drauf.
zu c)
Also seien x/y und a/b aus R und 2|a/b x/y , dann gibt
es ja ein q/p [mm]\in[/mm] R mit 2q/p= (ax)/(cy) also 2q/p (cy)= ax <=> 2q (cy) = (ax) p
da 2c gerade ist und cy ungearde muss (ax) p auf jedenfall gerade sein und da p ungerade ist, muss ax gerade sein. Da ein produkt aus zwei zahlen genau dann
gerade ist, wenn mindestens eine der beiden zahlen gerade
ist, teilt 2 a und/ oder x.
O.B.d.A. 2|a dann ex. w [mm] \in \IZ [/mm] mit 2w=a und damit 2 (w/b) = a/b mit (w/b) in R und somit teilt 2 auch a/b.
So okay?
Dann:
Sei x/y Primelement in R.
Dann (x/y)= [mm] 2^{min(k \in \IN: 2^k \in (x/y))}R.
[/mm]
Das von 2 erzeugt Ideal ist:
(2) = 2R
Ich seh nicht warum die jetzt gleich sind. Wenn [mm] 2^k [/mm] in (x/y) ist, dann muss ja gelten [mm] (x/y)|2^k [/mm] aber wieso folgt dann k=1??
So hoffe ich bin etwas vorangekommen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> zu a)
> Falls a/b [mm]\in[/mm] R Einheit ist, dann existiert c/d in R mit
> a/b *c/d =1. <=> ac=db.
> Da 2 nciht bd=ac teilt => 2 teilt nicht a und 2 teilt nicht
> c. Denn würde 2 o.B.d.A. a teilen, dann gäbe es k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R
> mit 2k=a also 2(kc)=ac und dann würde 2 auch ac=bd teilen.
> Somit sind a und c ungerade und es folgt als
> Einheitenmenge:
> R*={x/y|x,y [mm]\in \IZ,[/mm] x,y [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 und x,y ungerade}.
> So ok?
Du hast nur gezeigt, dass $R^\ast$ eine Teilmenge davon ist.
Es geht auch viel einfacher. Da $R$ ein Unterring von $\IQ$ ist, gilt fuer ein $x = \frac{a}{b} \in R \setminus \{ 0 \}$, dass das Inverse in $\IQ$ $\frac{b}{a}$ ist. Damit $x \in R^\ast$ gilt, muss $\frac{b}{a} \in R$ sein. Damit kannst du jetzt genau sagen, was fuer $a$ und $b$ gelten muss, damit $\frac{a}{b} \in R^\ast$ ist.
> zu b)
> Da habe ich echt eine Denkblockade. Also sei x/y ein
> Element im Ideal a [mm]\not=[/mm] 0. D.h. y ist ungerade. Wenn ich
> mit einer Einheit multipliziere sind davon ja Nenner und
> Zähler ungerade. Also ich würde dann im Zähler schonmal
> y schreiben von der Einheit, dann würde sich das ja
> schonmal rauskürzen, aber x kann ja gerade oder ungerade
> sein.
Wenn es ungerade ist, dann liegt eine Einheit im Ideal. Damit ist das Ideal gleich $R$. In dem Fall ist $a = [mm] 2^0 [/mm] R$.
Schreib doch mal $x = [mm] 2^n \cdot [/mm] x'$ mit $x'$ ungerade. Dann ist [mm] $\frac{x}{y} [/mm] = [mm] \frac{x'}{y} \cdot 2^n$. [/mm] Was kannst du ueber [mm] $\frac{x'}{y}$ [/mm] sagen?
> zu c)
> Also seien x/y und a/b aus R und 2|a/b x/y , dann gibt
> es ja ein q/p [mm]\in[/mm] R mit 2q/p= (ax)/(cy) also 2q/p (cy)= ax
> <=> 2q (cy) = (ax) p
> da 2c gerade ist und cy ungearde muss (ax) p auf jedenfall
> gerade sein und da p ungerade ist, muss ax gerade sein. Da
> ein produkt aus zwei zahlen genau dann
> gerade ist, wenn mindestens eine der beiden zahlen gerade
> ist, teilt 2 a und/ oder x.
> O.B.d.A. 2|a dann ex. w [mm]\in \IZ[/mm] mit 2w=a und damit 2 (w/b)
> = a/b mit (w/b) in R und somit teilt 2 auch a/b.
>
> So okay?
Ja.
Du versuchst aber wieder die ganze Zeit mit ungerade/gerade zu argumentieren. Argumentiere doch mal mit der Primzahl 2.
> Dann:
> Sei x/y Primelement in R.
> Dann (x/y)= [mm]2^{min(k \in \IN: 2^k \in (x/y))}R.[/mm]
> Das von 2
> erzeugt Ideal ist:
> (2) = 2R
> Ich seh nicht warum die jetzt gleich sind.
Ueberleg dir: [mm] $2^n [/mm] R$ mit $n [mm] \neq [/mm] 1$ kann kein Primideal sein.
Wenn $x/y$ prim ist, dann ist $(x/y)$ ein Primideal. Also muss $(x/y) = (2)$ sein.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
hey.
also a) hab ich verstanden deine erklärung war sehr hilfreich und logisch.
zu b)
also sei x/y in a.
Dann ist y ungerade.
1 Fall: x ungerade, dann ist x/y Einheit und somit ist [mm] a=R=2^0 [/mm] R.
2. Fall: x gerade.
Dann kann man x/y schreiben als x/y=x'/y [mm] 2^k [/mm] für ein k, sodass x' ungerade. man weiß dann, dass x'/y eine einheit ist. d.h. jedes element im indeal lässt sich als produkt eine einheit mit einer 2er potenz darstellen. kann man k auch so wählen, dass x' gerade y ist? dann würde sich ja ergeben, dass [mm] 2^k [/mm] in a ist??
das a dann von [mm] 2^k [/mm] mit k minimal erzeugt wird is ja irgendiwe logisch, höhere zweierpotenzen bekomm ich ja einfach durch multiplikation mit 2 aus R. aber ich weiß nicht wie man da formal drauf kommt und das aufschreibt.
wenn c) so ok ist, würde ich das so lassen. ich will doch zeigen das 2 prim ist, wie kann ich dann im argument benutzen, das 2 primzahl ist?
zum letzten teil: ich weiß leider nicht was ein primideal ist. habe das eben bei wiki nachgeguckt, aber wenn wir das nciht hatten, kann ich da ja auch schlecht drüber argumentieren. wir hatten immer gesagt, a und b sind assoziiert, wenn a=ub mit u einheit.
kann man nicht damit argumentieren? also wir hatten auch dass assoziiert gleich bedeutend damit ist, das beide elemente dasselbe ideal erzeugen und sich gegegenseitig teilen. nur primideal nicht.
viele grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> hey.
> also a) hab ich verstanden deine erklärung war sehr
> hilfreich und logisch.
> zu b)
> also sei x/y in a.
> Dann ist y ungerade.
> 1 Fall: x ungerade, dann ist x/y Einheit und somit ist
> [mm]a=R=2^0[/mm] R.
> 2. Fall: x gerade.
> Dann kann man x/y schreiben als x/y=x'/y [mm]2^k[/mm] für ein k,
> sodass x' ungerade. man weiß dann, dass x'/y eine einheit
> ist. d.h. jedes element im indeal lässt sich als produkt
> eine einheit mit einer 2er potenz darstellen. kann man k
> auch so wählen, dass x' gerade y ist? dann würde sich ja
> ergeben, dass [mm]2^k[/mm] in a ist??
Nun, multiplizier doch ein beliebiges [mm] $\frac{x'}{y} 2^k$ [/mm] mit einer passenden Einheit und benutze die Schluckeigenschaft des Ideals.
> das a dann von [mm]2^k[/mm] mit k minimal erzeugt wird is ja
> irgendiwe logisch, höhere zweierpotenzen bekomm ich ja
> einfach durch multiplikation mit 2 aus R.
Exakt.
> aber ich weiß
> nicht wie man da formal drauf kommt und das aufschreibt.
Nun, nimm dir eine minimale Zweierpotenz, und dann zeige die Gleichheit der Ideale. Du zeigst zu jedem Element in $a$, dass es in [mm] $2^k [/mm] R$ liegt (die Rueckrichtung ist klar, da [mm] $2^k$ [/mm] im Ideal liegt).
> wenn c) so ok ist, würde ich das so lassen. ich will doch
> zeigen das 2 prim ist, wie kann ich dann im argument
> benutzen, das 2 primzahl ist?
Du willst zeigen, dass 2 in $R$ prim ist. Dazu kannst du benutzen, dass 2 in [mm] $\IZ$ [/mm] prim ist. Das ist naemlich gerade der wichtige Punkt. Du kannst die ganze Konstruktion auch mit anderen Primzahlen in [mm] $\IZ$ [/mm] machen, etwa $p = 3$: dann schaust du dir [mm] $R_p [/mm] := [mm] \{ \frac{a}{b} \in \IQ \mid a, b \in \IZ, p \nmid b \}$ [/mm] an. In diesem Ring gelten genau die gleichen Eigenschaften wie im Ring aus der Aufgabenstellung, nur dass du 2 durch $p = 3$ (oder jede andere Primzahl in [mm] $\IZ$) [/mm] ersetzen kannst.
> zum letzten teil: ich weiß leider nicht was ein primideal
> ist. habe das eben bei wiki nachgeguckt, aber wenn wir das
> nciht hatten, kann ich da ja auch schlecht drüber
> argumentieren.
Das kannst du dann auch nicht.
> wir hatten immer gesagt, a und b sind
> assoziiert, wenn a=ub mit u einheit.
> kann man nicht damit argumentieren? also wir hatten auch
> dass assoziiert gleich bedeutend damit ist, das beide
> elemente dasselbe ideal erzeugen und sich gegegenseitig
> teilen. nur primideal nicht.
Also nimm an, du hast ein Primelement [mm] $\frac{x}{y}$. [/mm] Schreibe es als $u [mm] \cdot 2^k$ [/mm] mit $u$ Einheit und $k [mm] \in \IN$. [/mm] Jetzt zeige, dass es nur dann ein Primelement sein kann, wenn $k = 1$ ist. Dann folgt automatisch, dass es als $u [mm] \cdot [/mm] 2$ assoziiert zu $2$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 04.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
Hey nochmal,
also ich hoffe ich habs jetzt. hier nochmal:
b) Sei a Ideal. und x/y [mm] \in [/mm] a.
1 Fall: x ungerade, dann ist x/y Einheit und somit ist [mm] 1=2^0 \in [/mm] R.
2. Fall: x gerade.
Dann kann man x/y schreiben als x/y=x'/y [mm] 2^k [/mm] für ein k, sodass x' ungerade. Nun ist y/x' in R* und somit ist y/x' * x'/y [mm] 2^k= 2^k [/mm] in a.
--> somit gibt es stets ein k mit [mm] 2^k [/mm] in a.
nun wird gezeigt: [mm] a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) } [/mm] R .
Also sei [mm] I=a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) } R=2^m [/mm] R und wir zeigen I=a.
[mm] \subset
[/mm]
Klar, da [mm] 2^m \in [/mm] a. Und dann auch Vielfache von [mm] 2^m [/mm] in a.
[mm] \supset
[/mm]
Sei x/y [mm] \in [/mm] a. Dann gibt es k mit x/y=x'/y [mm] 2^k [/mm] mit x' ungerade. Dann [mm] x/y=2^{k-m} 2^m [/mm] x'/y [mm] \in [/mm] I, denn [mm] 2^m [/mm] x'/y in I und [mm] 2^{k-m} [/mm] in R.
--> also a=I.
c)
nochmal ein versuch mit deienm tipp.
also seien x/y und a/b [mm] \in [/mm] R und 2|x/y a/b d.h. es gibt q/p mit 2q/p=x/y a/b.
[mm] \Rightarrow [/mm] 2aby=(ax) p [mm] \Rightarrow [/mm] 2|(ax)p [mm] \Rightarrow [/mm] 2|ax oder 2|p da 2 Prim in [mm] \IZ. [/mm] Da aber p ungerade muss gelten 2|ax. Also 2|a oder 2|x wieder da 2 prim in [mm] \IZ. [/mm]
O.B.d.A. 2|a dann ex. w [mm] \in \IZ [/mm] mit 2w=a und damit 2 (w/b) = a/b mit (w/b) in R und somit teilt 2 auch a/b.
Besser?
Zum letzten Teil:
Sei x/y prim, dann gibt es k [mm] \in \IN [/mm] sodass x/y=x'/y [mm] 2^k [/mm] nach b).
Angenommen k>1. Dann x/y=(x'/y *2) [mm] 2^{k-1} [/mm] dann ist weder (x'/y *2) noch [mm] 2^{k-1} [/mm] eine Einheit, also ist x/y nicht irreduzibel und da R Hauptidealring ist auch nicht prim. Das wäre ein Widerspruch zur Annahme das x/y prim ist.
Also k=1. und x/y=x'/y 2 und da x'/y Einheit sind x/y und 2 assoziiert.
Geht das?
Wäre froh über noch eine Rückmeldung. Danke für die Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 So 04.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Hey nochmal,
> also ich hoffe ich habs jetzt. hier nochmal:
> b) Sei a Ideal. und x/y [mm]\in[/mm] a.
> 1 Fall: x ungerade, dann ist x/y Einheit und somit ist
> [mm]1=2^0 \in[/mm] R.
> 2. Fall: x gerade.
> Dann kann man x/y schreiben als x/y=x'/y [mm]2^k[/mm] für ein k,
> sodass x' ungerade. Nun ist y/x' in R* und somit ist y/x' *
> x'/y [mm]2^k= 2^k[/mm] in a.
> --> somit gibt es stets ein k mit [mm]2^k[/mm] in a.
Genau.
> nun wird gezeigt: [mm]a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) }[/mm] R .
> Also sei [mm]I=a=2^{min (k\in \IN: 2^k \in a) } R=2^m[/mm] R und
> wir zeigen I=a.
> [mm]\subset[/mm]
> Klar, da [mm]2^m \in[/mm] a. Und dann auch Vielfache von [mm]2^m[/mm] in a.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\supset[/mm]
> Sei x/y [mm]\in[/mm] a. Dann gibt es k mit x/y=x'/y [mm]2^k[/mm] mit x'
> ungerade. Dann [mm]x/y=2^{k-m} 2^m[/mm] x'/y [mm]\in[/mm] I, denn [mm]2^m[/mm] x'/y in
> I und [mm]2^{k-m}[/mm] in R.
> --> also a=I.
Genau.
> c)
> nochmal ein versuch mit deienm tipp.
> also seien x/y und a/b [mm]\in[/mm] R und 2|x/y a/b d.h. es gibt q/p
> mit 2q/p=x/y a/b.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2aby=(ax) p [mm]\Rightarrow[/mm] 2|(ax)p [mm]\Rightarrow[/mm]
> 2|ax oder 2|p da 2 Prim in [mm]\IZ.[/mm] Da aber p ungerade muss
> gelten 2|ax. Also 2|a oder 2|x wieder da 2 prim in [mm]\IZ.[/mm]
> O.B.d.A. 2|a dann ex. w [mm]\in \IZ[/mm] mit 2w=a und damit 2 (w/b)
> = a/b mit (w/b) in R und somit teilt 2 auch a/b.
>
> Besser?
Ja :)
> Zum letzten Teil:
> Sei x/y prim, dann gibt es k [mm]\in \IN[/mm] sodass x/y=x'/y [mm]2^k[/mm]
> nach b).
> Angenommen k>1. Dann x/y=(x'/y *2) [mm]2^{k-1}[/mm] dann ist weder
> (x'/y *2) noch [mm]2^{k-1}[/mm] eine Einheit, also ist x/y nicht
> irreduzibel und da R Hauptidealring ist auch nicht prim.
Du brauchst nichtmals, dass $R$ ein Hauptidealring ist -- Primelemente sind immer irreduzibel.
> Das wäre ein Widerspruch zur Annahme das x/y prim ist.
> Also k=1.
Da $k = 0$ ebenfalls nicht sein kann, es ist ja keine Einheit.
>und x/y=x'/y 2 und da x'/y Einheit sind x/y und 2
> assoziiert.
Genau. :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Lori7 |
super, vielen dank. habs verstanden :)
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