Lokales Newton-Verfahren < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mo 20.12.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | SEi [mm] f:\IR\to\IR, f(x)=1/4x^4. [/mm] Zeigen Sie, dass das lokale Newton-verfahren für jeden Startpunkt [mm] x^0\in\IR [/mm] gegen eindeutig bestimmtes Minimum der Funktion f konvergiert. |
Hallo!!
Sitze gerade an der Aufgabe, aber ich kriege es irgendwie nicht hin.
Wie zeigt man so was? Wie muss man dabei vorgehen? Muss man da die [mm] \{x_k\} [/mm] Folge aufstellen und dann gucken, wie sie sich für [mm] k\to\infty [/mm] verhält? Aber ich habe bei dem Vrefahren noch paar Parameter die gewählt werden sollten, nocrmalerweise müssen sie gegeben sein...
Wäre nett wenn mir jemand helefen würde
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
> SEi [mm]f:\IR\to\IR, f(x)=1/4x^4.[/mm] Zeigen Sie, dass das lokale
> Newton-verfahren für jeden Startpunkt [mm]x^0\in\IR[/mm] gegen
> eindeutig bestimmtes Minimum der Funktion f konvergiert.
Guten Morgen!
> Sitze gerade an der Aufgabe, aber ich kriege es irgendwie
> nicht hin.
> Wie zeigt man so was? Wie muss man dabei vorgehen? Muss
> man da die [mm]\{x_k\}[/mm] Folge aufstellen und dann gucken, wie
> sie sich für [mm]k\to\infty[/mm] verhält? Aber ich habe bei dem
> Vrefahren noch paar Parameter die gewählt werden sollten,
> nocrmalerweise müssen sie gegeben sein...
Ich schlage vor, daß du zumindest mal [mm] x^1 [/mm] ausrechnest. Außerdem soll es wahrscheinlich [mm] f(x)=(1/4)x^4 [/mm] heißen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mo 20.12.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Dieter!!
Danke für deine Antwoert!!!
Im Algorithmus stehet: [mm] \pho>0, [/mm] p>2, [mm] \beta\in(0,1),\sigma\in(0,1/2), \epsilon\ge{0}
[/mm]
[mm] d^0=\bruch{-f'(x_0)}{f''(x_0)}=\bruch{-x_0^3}{3x^2_0}=\bruch{-x_0}{3}
[/mm]
Somit ist [mm] x_1=x_0+t_0d^0=x_0-t_0\bruch{x_0}{3}=x_0(1-\bruch{t_0}{3})
[/mm]
wobei [mm] t_0=max(\beta^l:l=0,1,2,...), [/mm] für welches gilt:
[mm] f(x_0+t_0d^0)\le{f(x_0)}+\sigma{t_0}f'(x_0)d^0.
[/mm]
Welche Schlüße muss ich daraus ziehen, das leuchtet mir noch nicht ein?
Vielen Dank!!!
Beste grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mo 20.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Im Algorithmus stehet: [mm]\pho>0,[/mm] p>2,
> [mm]\beta\in(0,1),\sigma\in(0,1/2), \epsilon\ge{0}[/mm]
>
> [mm]d^0=\bruch{-f'(x_0)}{f''(x_0)}=\bruch{-x_0^3}{3x^2_0}=\bruch{-x_0}{3}[/mm]
> Somit ist
> [mm]x_1=x_0+t_0d^0=x_0-t_0\bruch{x_0}{3}=x_0(1-\bruch{t_0}{3})[/mm]
> wobei [mm]t_0=max(\beta^l:l=0,1,2,...),[/mm] für welches gilt:
> [mm]f(x_0+t_0d^0)\le{f(x_0)}+\sigma{t_0}f'(x_0)d^0.[/mm]
>
> Welche Schlüße muss ich daraus ziehen, das leuchtet mir
> noch nicht ein?
Deine vielen Parameter irritieren mich durchaus. Wenn ich das nachrechne, erhalte ich [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \bruch{f(x_n}{f'(x_n)} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}x_n
[/mm]
Aber damit ist diese Abb. auf ganz [mm] \IR [/mm] kontrahierend und hat einen Fixpunkt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mo 20.12.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Dieter !!
Ich habe in der Vorlesung für [mm] x_k [/mm] folgendes stehen:
[mm] x_{k+1}=x_k+d^k, [/mm] wobei [mm] d^k [/mm] Lösung der Gleichung ist:
[mm] f''(x_k)d^k=-f'(x_k)
[/mm]
Wenn [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^4, [/mm] dann [mm] f'(x_k)=x^3 [/mm] und [mm] f''(x_k)=3x^2.
[/mm]
Somit ist [mm] d_k=-\bruch{f'(x_k)}{f''(x_k)}=-\bruch{x^3_k}{3x_k^2}=-\bruch{x_k}{3}
[/mm]
D.h. [mm] x_{k+1}=x_k-\bruch{x_k}{3}=x_k\bruch{2}{3}
[/mm]
Wenn ich [mm] \{x_{k}\} [/mm] die Folge durch [mm] x_0 [/mm] aproximiere, dann kriege ich folgendes:
[mm] \{x_{k}\}_{k\in\IN}=\{x_0\bruch{2^k}{3^k}\}_{k\in\IN}=x_0\{\bruch{2^k}{3^k}\}_{k\in\IN}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lim_{k\to\infty}x_0\bruch{2^k}{3^k}=x_0\lim_{k\to\infty}\bruch{2^k}{3^k}=0
[/mm]
Ist das richtig so?
Beste Grüße
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Hallo math101,
> Hallo, Dieter !!
> Ich habe in der Vorlesung für [mm]x_k[/mm] folgendes stehen:
> [mm]x_{k+1}=x_k+d^k,[/mm] wobei [mm]d^k[/mm] Lösung der Gleichung ist:
> [mm]f''(x_k)d^k=-f'(x_k)[/mm]
> Wenn [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^4,[/mm] dann [mm]f'(x_k)=x^3[/mm] und
> [mm]f''(x_k)=3x^2.[/mm]
> Somit ist
> [mm]d_k=-\bruch{f'(x_k)}{f''(x_k)}=-\bruch{x^3_k}{3x_k^2}=-\bruch{x_k}{3}[/mm]
> D.h. [mm]x_{k+1}=x_k-\bruch{x_k}{3}=x_k\bruch{2}{3}[/mm]
> Wenn ich [mm]\{x_{k}\}[/mm] die Folge durch [mm]x_0[/mm] aproximiere, dann
> kriege ich folgendes:
>
> [mm]\{x_{k}\}_{k\in\IN}=\{x_0\bruch{2^k}{3^k}\}_{k\in\IN}=x_0\{\bruch{2^k}{3^k}\}_{k\in\IN}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lim_{k\to\infty}x_0\bruch{2^k}{3^k}=x_0\lim_{k\to\infty}\bruch{2^k}{3^k}=0[/mm]
>
> Ist das richtig so?
Ja, das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 21.12.2010 | | Autor: | math101 |
Hab Rieeeeesen Dank!!!
Beste Grüße
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