Lotka-Volterra-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:38 Sa 24.06.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Betrachte die Lotka-volterra-DGL für die festen Konstanten [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta [/mm] > 0:
x' = [mm] (\alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] y)x
y' = [mm] (-\gamma [/mm] + [mm] \delta [/mm] x)y
wobei (x,y) [mm] \in [/mm] D:= [mm] ]0,\infty[^{2}.
[/mm]
(a) Zeige, dass jede maximale nichtkonstante Lösung u = (x,y) periodisch ist.
(b) sei u=(x,y) eine nichtkonstante Lösung mit periode T > 0. bestimme die über eine periode gemittelten populationsgröße
[mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{x(s) ds} [/mm] und [mm] \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{y(s) ds}. [/mm] |
hallo, forum!
Ich habe zunächst einige verständnisprobleme.
könnt ihr mir bitte erklären, was es mathematisch heißt, wenn eine lösung periodisch ist? was gilt dann? aus dem skript der vorlesung werd ich einfach nicht schlau.
bei der (a) hab ich den tipp bekommen, dass ich die bogenlänge s(t) = [mm] \integral_{0}^{t}{\wurzel{x'(r)^{2} + y'(r)^{2}}} [/mm] dr von u wie folgt abschätzen soll: s' [mm] \ge \varepsilon [/mm] mit einem geeigneten [mm] \varepsilon=\varepsilon(u) [/mm] > 0.
muss ich hier s ableiten und dann die gleichungen für x´und y´einsetzen? und wie mache ich dann weiter?
Bei der (b) weiß ich jetzt wieder nicht genau, wie es def. ist, wenn u eine periode T hat.
hier soll ich das integral [mm] \integral_{0}^{T}{\bruch{d}{dt} logx(t)dt} [/mm] benützen, um die aufgabe lösen zu können.
aber inwiefern wende ich das hier an?
ich weiß, es sind viele fragen, aber ich hoffe, ihr könnt mir helfen. vielen dank!
VHN
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 So 25.06.2006 | | Autor: | VHN |
hallo leute!
ich habe mir folgendes zur b gedacht:
ich löse doch die DGLen x' sowie y' einfach so , als wären sie homogene lineare DGL der Form x' + gx = 0, oder? dabei behandle ich bei x' das y so, als wäre es eine konstante, analog bei y'.
dann integriere ich es bei der (b) ganz normal. aber wozu wurde dieses "hilfsintegral" gegeben?
stimmt meine idee?
VH
|
|
|
| |
|
Hallo VHN,
> Betrachte die Lotka-volterra-DGL für die festen Konstanten
> [mm]\alpha, \beta, \gamma, \delta[/mm] > 0:
> x' = [mm](\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] y)x
> y' = [mm](-\gamma[/mm] + [mm]\delta[/mm] x)y
> wobei (x,y) [mm]\in[/mm] D:= [mm]]0,\infty[^{2}.[/mm]
> (a) Zeige, dass jede maximale nichtkonstante Lösung u =
> (x,y) periodisch ist.
> (b) sei u=(x,y) eine nichtkonstante Lösung mit periode T >
> 0. bestimme die über eine periode gemittelten
> populationsgröße
> [mm]\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{x(s) ds}[/mm] und [mm]\bruch{1}{T} \integral_{0}^{T}{y(s) ds}.[/mm]
>
> hallo, forum!
>
> Ich habe zunächst einige verständnisprobleme.
> könnt ihr mir bitte erklären, was es mathematisch heißt,
> wenn eine lösung periodisch ist? was gilt dann?
das ist ganz leicht: es gibt ein $T>0$, so dass $f(x)=f(x+T), [mm] \forall [/mm] x$ gilt.
bei einer kurve bedeutet das also, dass sie geschlossen ist, deshalb wohl die abschätzung der bogenlänge.
Gruß
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:03 Mo 26.06.2006 | | Autor: | VHN |
hallo matthias + forum!
ich weiß zwar jetzt, was periodisch ist, aber ich weiß nicht, wie ich die aufgabe lösen soll.
ich habe nun die bogenlänge s abgeleitet:
s'(t) = [mm] \wurzel{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}
[/mm]
also gilt s' [mm] \ge \varepsilon.
[/mm]
wenn die lösung u periodisch ist, heißt das ja, dass die bogenlänge von u sich nicht ändert, falls u(x,y) = u(x+T,y+T) gilt.
stimmt das?
aber wie komme ich jetzt von der bogenlänge darauf, dass u periodisch ist?
bei der (b) brauche ich doch die lösung x der dgl [mm] x'=(\alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] y)x (analog für y).
aber wie berechne ich diese? ich habe versucht, diese DGL so zu lösen, als wäre sie homogene lineare DGL der form x'+gx=0. aber es klappt nicht, weil ich ja nicht weiß, was die stammfunktion von y ist
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. irgendwie komme ich nicht auf keinen grünen zweig. danke!
VH
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
