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| Aufgabe | Im Radio werden gerade die Lottozahlen übertragen, wobei Sie die Ansage der ersten fünf Zahlen
verpasst haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die sechste Zahl eine gerade Zahl? |
Komme hier auf keinen gewcheiten Ansatz. Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen und nachrechnen wäre eine Möglichkeit, aber ich denke dass wäre zu Zeitintensiv und auch nicht die beste Möglichkeit die Lösung herauszufinden. Rein logisch dachte ich mir, dass es eigentlich die gleiche Wahrscheinlichkeit ist, wie die Wahrscheinlichkeit dass die erste gezogene Zahl gerade ist, d.h. [mm] \bruch{24}{49}, [/mm] da es 24 gerade Zahlen gibt und 25 ungerade.
Würde mich über Hilfe sehr freuen
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> Im Radio werden gerade die Lottozahlen übertragen, wobei
> Sie die Ansage der ersten fünf Zahlen
> verpasst haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
> sechste Zahl eine gerade Zahl?
> Komme hier auf keinen gewcheiten Ansatz.
> Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen und nachrechnen wäre eine
> Möglichkeit, aber ich denke dass wäre zu Zeitintensiv und
> auch nicht die beste Möglichkeit die Lösung herauszufinden.
> Rein logisch dachte ich mir, dass es eigentlich die gleiche
> Wahrscheinlichkeit ist, wie die Wahrscheinlichkeit dass die
> erste gezogene Zahl gerade ist, d.h. [mm]\bruch{24}{49},[/mm] da es
> 24 gerade Zahlen gibt und 25 ungerade.
>
> Würde mich über Hilfe sehr freuen
Deine Überlegung ist absolut richtig. Wenn man nicht
weiss, welche Zahlen vorher schon gezogen worden sind,
kann man die letzte Zahl so betrachten wie die erste.
Würde man beim Fernsehen kurz vor dem Herausrollen
der letzten Kugel dazu kommen, wäre die Situation anders,
denn man könnte sehen und berücksichtigen, wieviele
gerade und ungerade Zahlen schon gezogen worden sind.
Al-Chw.
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okay super, danke. Dann bin ich ja schonmal froh dass meine Vermutung richtig ist 
Aber wie kann ich das Mathematisch/Stochastisch begründen?
(außer Wahrscheinlichkeitsbaum)
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> Aber wie kann ich das Mathematisch/Stochastisch
> begründen?
$\ m=49$
$\ g=24$
[mm] p=\bruch{g}{m}=\bruch{24}{49}
[/mm]
That's all !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin lustigerhurz,
es gibt 24 Moeglichkeiten, dass eine gerade Zahl beim sechsten Zug
gezogen wird. Eine davon ist beispielsweise 28. Wieviel Ziehungen gibt
es, bei denen 28 im sechsten Zug erscheint?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Sa 01.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Im Radio werden gerade die Lottozahlen übertragen, wobei
> > Sie die Ansage der ersten fünf Zahlen
> > verpasst haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die
> > sechste Zahl eine gerade Zahl?
> > Komme hier auf keinen gewcheiten Ansatz.
> > Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen und nachrechnen wäre eine
> > Möglichkeit, aber ich denke dass wäre zu Zeitintensiv und
> > auch nicht die beste Möglichkeit die Lösung herauszufinden.
> > Rein logisch dachte ich mir, dass es eigentlich die gleiche
> > Wahrscheinlichkeit ist, wie die Wahrscheinlichkeit dass die
> > erste gezogene Zahl gerade ist, d.h. [mm]\bruch{24}{49},[/mm] da es
> > 24 gerade Zahlen gibt und 25 ungerade.
> >
> > Würde mich über Hilfe sehr freuen
>
> Deine Überlegung ist absolut richtig.
Das stimmt aber nur, wenn die Zahlen in der Reihenfolge durchgegeben werden, in der sie gezogen worden sind, und nicht in aufsteigender Folge! (Wie das jetzt im Radio gemacht wird weiss ich nicht...)
Wenn die Folge naemlich in aufsteigender Reihenfolge genannt wird, ist die W'keit, dass die 6-te Zahl gerade ist, [mm] $\frac{6463}{13818}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
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> Das stimmt aber nur, wenn die Zahlen in der Reihenfolge
> durchgegeben werden, in der sie gezogen worden sind, und
> nicht in aufsteigender Folge! (Wie das jetzt im Radio
> gemacht wird weiss ich nicht...)
Upps Felix, du hast Recht. Daran habe ich uberhaupt nicht gedacht :-(
vg Luis
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> Wenn die Folge naemlich in aufsteigender Reihenfolge
> genannt wird, ist die W'keit, dass die 6-te Zahl gerade
> ist, [mm]\frac{6463}{13818}[/mm].
hallo Felix,
könntest du die Berechnung von Zähler und Nenner
dieses Bruches durchgeben, damit man die Lösung
nachvollziehen kann ?
Gruß Al
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Man kann die Loesung vielleicht mit der Beantwortung einer
vorgeschalteten Frage finden: In einer Urne befinden $n$ von 1 bis n
nummerierte Kugeln. Daraus werden [mm] $k=1,\dots,n$ [/mm] Kugeln ohne Zuruecklegen
gezogen. Wie ist das Maximum M der gezogenen Zahlen verteilt?.
Man kriegt ziemlich direkt heraus:
[mm] $P(M=m)=\dfrac{\dbinom{m-1}{k-1}}{\dbinom{N}{k}}$, $m=k,k+1,\dots,n$
[/mm]
Mit $k=6$, $n=49$ erhalte ich fuer die Ausgangsfrage:
[mm] $\sum_{j=1}^{24}P(M=2j)=\sum_{j=1}^{24}\dfrac{\dbinom{2j-1}{5}}{\dbinom{49}{6}}=0.4677=\frac{6463}{13818}$
[/mm]
Wie bist du darauf gekommen, Carl *Felix* Gauß? 
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Sa 01.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen
> Wie bist du darauf gekommen, Carl *Felix* Gauß?
Die Menge aller Lottoergebnisse [mm] $\Omega$ [/mm] ist ja gleich der Menge aller 6-elementigen Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, 49 \}$. [/mm] Betrachte jetzt die Zufallsvariable $X : [mm] \Omega \to \IN$, [/mm] $A [mm] \mapsto \max [/mm] A$. Dann liefert $X$ die letzte Ziffer.
Gesucht ist jetzt $P(X [mm] \text{ gerade}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1 \atop i \text{ gerade}}^{48} [/mm] P(X = i) = [mm] \sum_{i=3}^{24} [/mm] P(X = 2 i)$ (dass $P(X = i) = 0$ ist fuer $i < 6$ ist klar).
Gesucht ist also $P(X = i)$ fuer $6 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 48$. Da [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] \binom{49}{6}$ [/mm] ist, suchen wir also die Anzahl der $6$-Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, 48 \}$, [/mm] deren groesstes Element $i$ ist. Dies sind gerade die $5$-elementigen Teilmengen von [mm] $\{ 1, \dots, i-1 \}$ [/mm] vereinigt mit [mm] $\{ i \}$, [/mm] womit es davon [mm] $\binom{i - 1}{5}$ [/mm] gibt.
Damit ist $P(X = i) = [mm] \frac{(i - 1)(i - 2)(i - 3)(i - 4)(i - 5) \cdot 6}{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}$. [/mm] Und wenn man MAPLE damit [mm] $\sum_{i=3}^{24} [/mm] P(X = 2 i)$ berechnen laesst, kommt gerade der Bruch heraus :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Sa 01.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Felix,
danke fuer die Beschreibung deines Rechenweges.
Vielleicht kann man die folgende Verallgemeinerung meiner Formulierung oben
noch einmal gebrauchen:
In einer Urne befinden sich $ n $ von 1 bis n
nummerierte Kugeln. Daraus werden $ [mm] k=1,\dots,n [/mm] $ Kugeln ohne Zuruecklegen
gezogen. Wie ist der $j$'t groesste Wert [mm] $X_{(j)}$ [/mm] verteilt?
Damit sich [mm] $(X_{(j)}=x)$ [/mm] realisiert, muessen $j-1$ aus den Kugeln
[mm] $\{1,\dots,x-1\}$ [/mm] und $k-j$ aus den Kugeln [mm] $\{x+1,\dots,n\}$ [/mm] gezogen
werden. Das kann auf [mm] $\binom{x-1}{j-1}\binom{n-x}{k-j}$ [/mm] Weisen geschehen.
Mithin ist
[mm] $P(X_{(j)}=x)=\dfrac{\dbinom{x-1}{j-1}\dbinom{n-x}{k-j}}{\dbinom{n}{k}}$
[/mm]
fuer [mm] $x=j,\dots,n-k+j$ [/mm] und 0 sonst.
vg Luis
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danke Luis und Felix für eure Antworten !
Al-Chw.
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