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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $p \in \IR$, $2 \le p < \infty$. Seien $f, g \in L^{p}(\Omega,\lambda)$. Zeige, dass
$\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)} \le \bruch{1}{2}\parallel f \parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel g \parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)$.
Hinweis: Verwende $a^{q}+b^{q} \le (a+b)^{q}$ für $q \ge 1$ und $a, b \in \IR$ mit $0 \le a, b$ |
Hallo Ihr Lieben,
ich komme bei der Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Meine bisherigen Überlegungen:
$\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)} = \bruch{1}{2}\parallel \f f+g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \f f-g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}
\le (\parallel \bruch{(f+g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\parallel \bruch{(f-g)}{2}\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)})^{p}
\le \bruch{1}{2}\parallel \f f+g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}+\bruch{1}{2}\parallel \f f-g\parallel^{p}_{L^{p} (\Omega,\lambda)}$
Bei der ersten Ungleichung habe ich den Hinweis, d. h. die Konvexität angewendet. Aber das war es auch. Ich komme nicht weiter!
Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
favourite
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
eins Vorweg: Klammersetzung beachten!
Einige deiner Umformungen machen keinen Sinn, wenn keine Klammern dastehen (sind sogar schlichtweg falsch).
Beachte das daher bitte in Zukunft.
Zu deiner Frage:
[mm] $||f+g||^p [/mm] + [mm] ||f-g||^p [/mm] = [mm] \integral_\IR |f+g|^p\,d\lambda [/mm] + [mm] \integral_\IR |f-g|^p\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_\IR |f+g|^p+ |f-g|^p\,d\lambda \overbrace{\le}^{\text{Tipp}} \integral_\IR \left(|f+g|+ |f-g|\right)^p\,d\lambda [/mm] = [mm] \integral_\IR (2*\max\{f,g\})^p\,d\lambda [/mm] = [mm] ||2\max\{f,g\}||^p$
[/mm]
Nun weiter im Text.
edit: gerade festgestellt: Das stimmt nur so halb, da [mm] $2\max\{f,g\} [/mm] = f + g - |f-g|$, aber der Ansatz ist wohl trotzdem zielführend 
MFG,
Gono
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Hi Gono,
ich danke Dir für die Antwort. Ich bin leider verwirrter den je. Ich sehe nicht, wie ich damit die rechte Seite der Ungleichung erreicht. So habe ich nicht gerechnet. :(((
Gruß
favourite
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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