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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Glog |
| Aufgabe | Sei [mm] s\in\IR, [/mm] für welche [mm] p\in [1,\infty] [/mm] ist [mm] f(x)\in [/mm] Lp?
[mm] f(x)=x^s
[/mm]
[mm] ([1\to\infty)\to\IR) [/mm] |
Damit eine Funktion in Lp ist, muss sie messbar sein. Dies ist hier der Fall, da die [mm] x^s [/mm] stetig ist und aus Stetigkeit folgt (borel) messbarkeit. Oder als anderes Argument: Polynome sind immer messbar.
Desweiteren muss gelten (wobei a=1 und [mm] b=\infty):
[/mm]
[mm] (\integral_{a}^{b}{|f(x)|^p dx})^{1/p}<\infty
[/mm]
Da p positiv ist, kann ich schreiben:
[mm] (\integral_{a}^{b}{|x^s^p| dx})^{1/p} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{sp}a^{sp+1}-\bruch{1}{sp})^{1/p}
[/mm]
Da a gegen [mm] \infty [/mm] strebt, muss sp+1<0 oder =0 gelten. Ansonsten wäre das Integral nicht endlich.
Jetzt würde ich eine Fallunterscheidung machen:
s<0: Fall ist klar, da p positiv kann [mm] p\in [1,\infty] [/mm] alle angegeben Werte annehmen, da dann der Bruch gegen 0 geht (sofern sp<-1)
s>0: Das verstehe ich jetzt nicht, denn dann wäre der Bruch in jedem Fall [mm] \infty, [/mm] egal welches p ich einsetzen würde. Schliesslich kann p ja nicht negativ sein.
Was mache ich da weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Glog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Sa 08.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Sei [mm] g(x):=x^{sp}. [/mm] Da g auf [1, [mm] \infty) [/mm] positiv ist, gilt:
f [mm] \in L^p \gdw [/mm] g ist über [1, [mm] \infty) [/mm] uneigentlich Riemann- integrierbar [mm] \gdw [/mm] ?
Die Bedingung ? hattet ihr in Analysis 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Glog |
Ich hab das Kapitel über uneigentliche Integrale nochmals nachgelesen. Leider komme ich nicht weiter und verstehe nicht ganz, welcher Zusammenhang zwischen einem uneigentlichen Integral und der Bestimmung der möglichen p's besteht... Stimmt denn mein zu Beginn beschriebener Ansatz? Denn nach diesem scheint mir, dass kein p existiert, so dass [mm] x^s [/mm] für alle [mm] s\in\IR [/mm] das Integral endlich wird.
Wenn ich aber deinen Tipp anschaue, denke ich, dass der Hinweis dazu führen soll, dass f(x) für jedes p [mm] \in L^p [/mm] ist... Ich steh auf dem Schlauch, sorry :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei t [mm] \in \IR.
[/mm]
Für t [mm] \ge [/mm] 0 ist [mm] \integral_{1}^{\infty}{x^t dx}= \infty [/mm] (nachrechnen !)
Sei t<0.
Berechne mal [mm] \integral_{1}^{b}{x^t dx}. [/mm] Unterscheide dabei die Fälle t=-1 und t [mm] \ne [/mm] -1.
Dann schau mal für welche t der Grenzwert
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}\integral_{1}^{b}{x^t dx}
[/mm]
existiert (also < [mm] \infty [/mm] ist).
Dann siehst Du:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{x^t dx}< \infty \gdw [/mm] t<-1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 So 09.09.2012 | | Autor: | Glog |
Ok, das ist mir klar. Aber ich muss hier ja nicht in erster Linie das Integral für [mm] x^s [/mm] bestimmen.
Sondern ich muss bestimmen, für welche p die Funktion [mm] f(x)=x^s \in [/mm] Lp ist. Also z.B. p=1 wäre der Raum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, p=2 wäre der Hilbertraum. Damit das gilt, muss das Integral [mm] f(x)=(\integral_{1}^{\infty}{|x^s|^p dx})^{1/p} <\infty [/mm] sein (und f(x) muss messbar sein).
Mein Problem ist, dass ich kein p finde, so dass [mm] x^s [/mm] für jedes [mm] s\in \IR [/mm] endlich ist. Aber mein Gefühl sagt mir, dass dies doch wenigstens für ein p gelten sollte. Oder ist der Sinn und Zweck der Aufgabe die Fallunterscheidung wie ich sie zu Beginn gemacht habe? Dann würde rauskommen, dass für bestimme s die Funktion für alle p in Lp liegt und für andere s kein p existiert, so dass f(x) [mm] \in [/mm] Lp sein könnte.
Wäre total lieb, wenn du mir den Zusammenhang deines Tipps mit dem p bzw. Lp erklären könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 So 09.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ok, das ist mir klar. Aber ich muss hier ja nicht in erster
> Linie das Integral für [mm]x^s[/mm] bestimmen.
>
> Sondern ich muss bestimmen, für welche p die Funktion
> [mm]f(x)=x^s \in[/mm] Lp ist.
Dabei ist die Menge der $p$ abhängig von $s$ zu wählen. Es gibt tatsächlich kein $p$, so daß das Integral für alle $s$ endlich ist.
Nach FREDs Hinweis ist [mm] $\int_1^\infty x^{sp} [/mm] dx$ genau dann endlich, wenn $sp < -1$ ist.
Für $s [mm] \ge [/mm] 0$ gibt es also kein $p$ und für $s < 0$ ergibt sich:
[mm] $x^s\in L^p\gdw [/mm] p > -1/s$ und [mm] $p\ge [/mm] 1$.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:12 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Ok, das ist mir klar. Aber ich muss hier ja nicht in erster
> > Linie das Integral für [mm]x^s[/mm] bestimmen.
> >
> > Sondern ich muss bestimmen, für welche p die Funktion
> > [mm]f(x)=x^s \in[/mm] Lp ist.
>
> Dabei ist die Menge der [mm]p[/mm] abhängig von [mm]s[/mm] zu wählen. Es
> gibt tatsächlich kein [mm]p[/mm], so daß das Integral für alle [mm]s[/mm]
> endlich ist.
>
> Nach FREDs Hinweis ist [mm]\int_1^\infty x^{sp} dx[/mm] genau dann
> endlich, wenn [mm]sp < -1[/mm] ist.
>
> Für [mm]s \ge 0[/mm] gibt es also kein [mm]p[/mm] und für [mm]s < 0[/mm] ergibt
> sich:
>
> [mm]x^s\in L^p\gdw p > -s[/mm] und [mm]p\ge 1[/mm].
Hallo Wolfgang,
das stimmt aber nicht. Für p [mm] \ge [/mm] 1 und s<0 ist sp < -1 ganau dann, wenn p>-1/s
FRED
>
> Grüße,
> Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 So 09.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> das stimmt aber nicht. Für p [mm]\ge[/mm] 1 und s<0 ist sp < -1
> ganau dann, wenn p>-1/s
Stimmt! Danke! Hab' ich gerade korrigiert!.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 So 09.09.2012 | | Autor: | Glog |
Ah okay, danke jetzt versteh ichs!
Nur noch eine letzte Frage:
Ich habe hier den Eindruck gewonnen, dass das 1/p (also die p-te Wurzel aus dem Integral) keinen Einfluss bei der Bestimmung meiner p's hat. Stimmt das bzw. ist das immer so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay, danke jetzt versteh ichs!
>
> Nur noch eine letzte Frage:
> Ich habe hier den Eindruck gewonnen, dass das 1/p (also
> die p-te Wurzel aus dem Integral) keinen Einfluss bei der
> Bestimmung meiner p's hat. Stimmt das bzw. ist das immer
> so?
[mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)|^p dx} [/mm] < [mm] \infty \gdw (\integral_{a}^{b}{|f(x)|^p dx})^{1/p}< \infty
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 So 09.09.2012 | | Autor: | Glog |
Danke!
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