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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Pit |
Hallo zusammen,
folgende Definition wird hier wohl einigen bekannt sein :
[mm] L^p{ (\mu)} [/mm] = {f: f ist messbar und numerisch mit [mm] ||f||_{p}< \infty}
[/mm]
mit [mm] ||f||_{p} [/mm] = ( [mm] \integral_{omega}^{} {|f|^p d \mu})^{1/p}
[/mm]
Bisher dachte ich mit [mm] |f|^p [/mm] ist der Betrag der Funktion hoch p gemeint,bis ich heute aufgeschnappt habe,daß die Bezeichnung was mit Äquivalenzklassen zu tun hat.Kann das vielleicht jemand aufklären ? Bin jetzt ein wenig irritiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Pit!
Also, wir haben einen Vektorraum
[mm] ${\cal L}^p(\mu):=\{f:\Omega\to \overline{\IR}\, : \, f \quad \mbox{ist messbar und numerisch mit} \quad \int\limits_{\Omega} |f|^p < \infty\}$.
[/mm]
Durch
[mm] $N_p(f):= \left( \int\limits_{\Omega} |f|^p\, d\mu \right)^{\frac{1}{p}}$
[/mm]
wird [mm] $({\cal L}^p(\mu),N_p)$ [/mm] zu einem halbnormierten Raum.
"Halbnormiert" deshalb, weil für [mm] $N_p$ [/mm] alle Bedingungen einer Norm gelten außer
[mm] $N_p(f) [/mm] = 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] f=0$,
das gilt hier nicht.
Nun möchte man aber gerne einen normierten vollständigen Raum, also einen Banachraum, haben. Wie schafft man das? Naja, man dividiert das, was stört, einfach raus, bildet also den Quotientenvektorraum modulo des "Ausartungsaumes" der Halbnorm, also modulo:
[mm] $A_p:=\{f \in {\cal L}^p(\mu)\, : \, N_p(f)=0\}$.
[/mm]
Wir bilden also den Quotientenraum
[mm] $L^p(\mu):={\cal L}^p(\mu)/A_p$,
[/mm]
und definieren auf [mm] $L_p(\mu)$:
[/mm]
[mm] $\Vert [/mm] f + [mm] N_p\Vert_p:=N_p(f)$.
[/mm]
Die Norm wird also repräsentantenweise definiert (aufgrund der speziellen Struktur ist die Abbildung wohldefiniert).
Man kann zeigen, dass durch [mm] $\Vert \cdot \Vert_p$ [/mm] eine Norm gegeben wird, und dass [mm] $L_p(\mu)$ [/mm] zusammen mit dieser Norm ein Banachraum ist.
Der Einfachheit halber identifiziert man aber häufig die Äquivalenzklassen mit den Repräsentanten, schreibt also statt [mm] $\Vert [/mm] f + [mm] N_p\Vert_p$ [/mm] lieber [mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_p$, [/mm] und hat bei den Elementen von [mm] $L^p(\mu)$ [/mm] Funktionen im Sinn (und nicht deren Äquivalenzklassen).
Nur muss man sich halt klar machen, dass alle Eigenschaften, die wir über Elemente aus [mm] $L_p(\mu)$ [/mm] treffen, eigentlich für die Äquivalenzklassen gelten und daher nur [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher gelten.
Zeigt man also für $f [mm] \in L^p(\mu)$: [/mm] $f=0$, so heißt das eigentlich:
$f=0$ [mm] $\mu$-fast [/mm] sicher,
d.h. auf [mm] $\mu$-Nullmengen [/mm] kann die Gleichung durchaus aufgehoben sein. Das ist aber meistens unerheblich, da man selten punktweise Aussagen braucht, sondern eher Konvergenzen "im $p$-ten Mittel", also in der [mm] $L^p(\mu)$-Norm, [/mm] wo man eh wieder zu den Klassen übergeht.
Ich hoffe ich konnte dir das alles etwas deutlicher machen. 
Liebe Grüße
Stefan
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