Lsg der Krümmungsradius Dgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \frac{\left(1+(y')^2\right)^{\frac{3}{2}}}{y''} [/mm] = c |
Ich hab die Dgl zu lösen und komm nicht weiter. Ich hab eine Substitution vorgenommen: y'=z, komme dann auf:
[mm] \frac{\left(1+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}{z'} [/mm] = c
Danach Trennung der Variablen:
[mm] \int\frac{dz}{\left(1+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} [/mm] = [mm] \int\frac{1}{c}dx
[/mm]
und dann komm ich für z auf:
[mm] \frac{z}{\sqrt{z^2+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{c}\cdot [/mm] x+K
z = y' = [mm] \pm(c\cdot K+x)\cdot\sqrt{\frac{-1}{(c\cdot K+x+c)\cdot(c\cdot K+x-c)}}
[/mm]
Und da steck ich jetzt in der Zwickmühle, das ich den letzten Term integrieren müsste, aber irgendwie komm ich da auf nichts sinnvolles.
Gibt es eine andere Möglichkeit ranzugehen,
Danke schon mal,
Jens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 31.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jens!
> [mm]\frac{\left(1+(y')^2\right)^{\frac{3}{2}}}{y''}[/mm] = c
> Ich hab die Dgl zu lösen und komm nicht weiter. Ich hab
> eine Substitution vorgenommen: y'=z, komme dann auf:
> [mm]\frac{\left(1+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}{z'}[/mm] = c
> Danach Trennung der Variablen:
> [mm]\int\frac{dz}{\left(1+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/mm] =
> [mm]\int\frac{1}{c}dx[/mm]
> und dann komm ich für z auf:
> [mm]\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}[/mm] = [mm]\frac{1}{c}\cdot[/mm] x+K
> z = y' = [mm]\pm(c\cdot K+x)\cdot\sqrt{\frac{-1}{(c\cdot K+x+c)\cdot(c\cdot K+x-c)}}[/mm]
Benutze partielle Integration mit [mm] $v=c\cdot [/mm] K+x$ und
[mm] u' = \sqrt{\frac{-1}{(c\cdot K+x+c)\cdot(c\cdot K+x-c)}} = \bruch{1}{\sqrt{c^2-(x+Kc)^2}} [/mm]
Die Stammfunktion u bestimmst du mit Hilfe der Substitution $t=x/c+K$.
Nachtrag: Wenn du die Subsitution machst, bevor du nach z auflöst, wird das Integral viel einfacher.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Herzlichen Dank Rainer,
ich hab das jetzt mal weitergedacht, hoffe ich komm damit in die richtige Richtung:
y'= [mm] \pm(c\cdot K+x)\cdot\frac{1}{\sqrt{c^2-(c\cdot K+x)^2}}
[/mm]
v = [mm] (c\cdot [/mm] K+x) [mm] \Rightarrow [/mm] v' = 1
u' = [mm] \frac{1}{\sqrt{c^2-(c\cdot K+x)^2}} \Rightarrow \text{Subst.: } t=\frac{x}{c}+K
[/mm]
u' = [mm] \frac{1}{\sqrt{c-t^2}} \Rightarrow [/mm] u = [mm] \arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)
[/mm]
y = [mm] \pm\left(u\cdot v-\int u\cdot v'\cdot dx\right) [/mm] = [mm] \pm\left(\arcsin\left(\frac{\frac{x}{c}+K}{\sqrt{c}}\right)\cdot (c\cdot K+x)-\int\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)\cdot dt\right)\\
[/mm]
y = [mm] \arcsin\left(\frac{c\cdot K+x}{c^{3/2}}\right)\cdot(c\cdot K+x)-\left(t\cdot\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{c}\cdot\sqrt{\frac{-t^2}{c}+1}\right)
[/mm]
jetzt müsste noch rücksubstituiert werden. Kommt das hin?
Danke schon mal Jens
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Herzlichen Dank Rainer,
> ich hab das jetzt mal weitergedacht, hoffe ich komm damit
> in die richtige Richtung:
> y'= [mm]\pm(c\cdot K+x)\cdot\frac{1}{\sqrt{c^2-(c\cdot K+x)^2}}[/mm]
>
> v = [mm](c\cdot[/mm] K+x) [mm]\Rightarrow[/mm] v' = 1
> u' = [mm]\frac{1}{\sqrt{c^2-(c\cdot K+x)^2}} \Rightarrow \text{Subst.: } t=\frac{x}{c}+K[/mm]
>
> u' = [mm]\frac{1}{\sqrt{c-t^2}} \Rightarrow[/mm] u =
> [mm]\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)[/mm]
> y = [mm]\pm\left(u\cdot v-\int u\cdot v'\cdot dx\right)[/mm] =
> [mm]\pm\left(\arcsin\left(\frac{\frac{x}{c}+K}{\sqrt{c}}\right)\cdot (c\cdot K+x)-\int\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)\cdot dt\right)\\[/mm]
>
> y = [mm]\arcsin\left(\frac{c\cdot K+x}{c^{3/2}}\right)\cdot(c\cdot K+x)-\left(t\cdot\arcsin\left(\frac{t}{\sqrt{c}}\right)+\sqrt{c}\cdot\sqrt{\frac{-t^2}{c}+1}\right)[/mm]
>
> jetzt müsste noch rücksubstituiert werden. Kommt das hin?
Ja, aber es ist viel einfacher, wenn du zunächst alle x durch t ersetzt, vereinfachst und dann zurücksubstituierst. Der andere Weg geht natürlich auch, macht aber mehr Arbeit.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
