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Lucas-Folge: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:08 Sa 13.12.2008
Autor: Murx

Aufgabe
Zeige das zwei aufeinanderfolgende Lucas-Zahlen teilerfremd sind.

Hallo,

ich hab bei dieser Aufgabe folgendermaßen angefangen:

[mm] ggT(L_{n+1}, L_{n})=ggT(L_{n}+L_{n-1}, L_{n})=ggT(L_{n}, L_{n-1}) [/mm]

Wie kann ich hier nun am besten fortfahren, um zu zeigen, dass ggT = 1 ist??

Danke schonmal.

        
Bezug
Lucas-Folge: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:31 Sa 13.12.2008
Autor: Murx

Hallo,

kann ich das nicht einfach so machen:

ggT(1,3)=1. Aus [mm] ggT(L_{n},L_{n+1})=1 [/mm] folgt:

[mm] ggT(L_{n+1},L_{n}) [/mm] = [mm] ggT(L_{n}+L_{n-1}) [/mm] = [mm] ggT(L_{n},L_{n-1}) [/mm] =
[mm] ggT(L_{n+1},L_{n}) [/mm] =1

Reicht das als Beweis??

Bezug
                
Bezug
Lucas-Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 So 14.12.2008
Autor: felixf

Hallo

> kann ich das nicht einfach so machen:
>
> ggT(1,3)=1. Aus [mm]ggT(L_{n},L_{n+1})=1[/mm] folgt:

Wieso nimmst du an dass [mm]ggT(L_{n},L_{n+1})=1[/mm] gilt? Machst du etwa Induktion? Dann sag das doch auch!

> [mm]ggT(L_{n+1},L_{n})[/mm] = [mm]ggT(L_{n}+L_{n-1})[/mm] =

Der zweite Ausdruck macht so keinen Sinn.

> [mm]ggT(L_{n},L_{n-1})[/mm] =

Wie kommst du auf dieses Gleichheitszeichen?

> [mm]ggT(L_{n+1},L_{n})[/mm] =1

Aus [mm]ggT(L_{n+1},L_{n}) = 1[/mm] folgt [mm]ggT(L_{n+1},L_{n}) = 1[/mm]. Und was jetzt?

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Lucas-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 So 14.12.2008
Autor: Murx

Hallo,

es stimmt, der zweite Ausdruck macht keinen Sinn. ich meinte auch:
[mm] ggT(L_{n}+L_{n-1},L_{n})!! [/mm]

Ansonsten hab ich versucht das analog zur Fibonacci-Folge zu machen, da Fibonacci- und Lucas-Zahlen ohnehin recht ähnlich sind...

Da sah der Beweis (zur analogen Fragestellung) folgendermaßen aus:

Beh: [mm] ggT(F_{n},F_{n+1})=1 [/mm]

Beweis: Es gilt [mm] ggT(F_{1},F_{2})=1. [/mm] Aus [mm] ggT(F_{n}, F_{n+1})=1 [/mm] folgt

[mm] ggT(F_{n+1},F_{n+2})=ggT(F_{n+1}, F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n})=ggT(F_{n+1},F_{n})=1 \Box [/mm]

Daher kam ich auf die obere Idee das so zu machen.  Weiß immer noch nicht ob das so geht. Hat da vielleicht nun jemand ne Idee zu???

Danke schonmal.


Bezug
                                
Bezug
Lucas-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 So 14.12.2008
Autor: anstei


> Daher kam ich auf die obere Idee das so zu machen.  Weiß
> immer noch nicht ob das so geht. Hat da vielleicht nun
> jemand ne Idee zu???

Dann probiers doch nochmal aus und schreib es ordentlich auf. Bei mir klappts genau gleich wie bei den Fibonacci-Zahlen.

Gruss,
Andreas

Bezug
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