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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Hi ihr alle!
Folgende Aufgabe bereitet mir große Probleme!!!
Eine reelle Zahlenfolge [mm] (L_{n})_{n\varepsilon\IN}, [/mm] die durch [mm] L_{1}=a, L_{2}=b [/mm] mit [mm] a,b\varepsilon\IR [/mm] und [mm] L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1} [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] gegeben ist, heißt Lucas-Zahlenfolge.
Zu a=1 und b=1 ist dann [mm] L_{n} [/mm] die n-te Fibonacci-Zahl [mm] F_{n}.
[/mm]
1. Bestimme eine explizite Darstellung von [mm] F_{n} [/mm] für alle [mm] n\varepsilon\IN [/mm] mittels
[mm] \vektor{F_{n+1} \\ F_{n}}= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{F_{n} \\ F_{n-1}}, n\ge2
[/mm]
Dazu soll man die Eigenwerte der obigen Matrix betrachten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Die Eigenwerte der Matrix berechnen, das sind [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2}
[/mm]
Dann sind die
[mm] F_{n} [/mm] = [mm] A*\lambda_{1}^{n}+B*\lambda_{2}^{n} [/mm]
die Koeefizienten A, B können durch die Anfangswerte der Folge bestimmt werden....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Tut mir leid, aber damit kann ich nicht wirklich was anfangen! :-(
Die Eigenwerte der Matrix zubestimmen ist ja nicht schwer. Der eigenwert ist bei mit 0, oder stimmt das nicht?
Weiter komme ich dann mit der Aufgabe trotzdem nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Die Eigenwerte sind aus der Gleichung [mm] det(A-\lambda*E)=0 [/mm] zu bestimmen und da komme ich auf
[mm] \bruch{1\pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Aber meine Determinante hat das Ergebnis 0!
Deswegen dachte ich dass der eigenwert 0 is!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] det(A-\lambda*E) [/mm] = det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda)*(-\lambda)-1 [/mm] = 0
oder
[mm] \lambda^2-\lambda-1=0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Genau das habe ich auch raus, aber wie kommst du jetzt auf deinen Eigenwert?
Und dann weiß ich imernoch nicht was der Eigenwert mit der Aufgabe zu tun hat, denn ich muss ja eine explizite Darstellung von [mm] F_{n} [/mm] finden....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
1. die quadratische Gleichung Lösung, da bekomme ich aber sicher nicht 0 als Lösung....
und dann ist die allgemeine Lösung so wie ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
ok jetzt stecke ich fest:
ich habe [mm] \lambda²-\lambda=1 [/mm] richtig und dann kommt doch ne quadratische Ergänzung oder?
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> ok jetzt stecke ich fest:
> ich habe [mm]\lambda²-\lambda=1[/mm] richtig und dann kommt doch ne
> quadratische Ergänzung oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
kommt dann als Ergebnis [mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=o [/mm] raus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
vielleicht ziehst du dir das erst mal rein
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Stimmt die pq-Formel hab ich ja ganz vergessen. danke sehr!
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
p-q-Formel