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| Aufgabe | [mm] f(x)=e^{-x}*sin(\pi*x) [/mm]
b) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der bei Roatation des Graphen von f um die x-Achse im Intervall [0;1] entsteht. |
Hallo Leute,
zur Übung hab ich erstmal normal das Integral von [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x}*sin(\pi*x) dx} [/mm] gelöst.
Mir ist aufgefallen, dass das Integral nachdem ich es 2 mal partiell integriert habe vereinfachen konnte, weil das Ursprungsintegral wieder raus kam.
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x}*sin(\pi*x) dx}=\bruch{e^{-x}(-sin(\pi*x)-\pi*cos(\pi*x))}{1+\pi^{2}}
[/mm]
Hoffentlich ist das richtig ^^
Nun hab ich mich an [mm] [f(x)]^2 [/mm] gewagt aber.....
[mm] A=\pi*\integral_{0}^{1}{e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) dx}
[/mm]
da hab ich dann schon bei dem ersten neuen Integral ein sin cos und e - Funktion in diesem stehen, bin ich aufm Holzweg oder was mache ich jetzt?
Viele Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Di 22.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Prinzipiell sieht Deine Vorgehensweise gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wie hast Du denn bei dem 2. Integral die Teilfunktionen für die partielle Integration gewählt?
Ich empfehle hier $u' \ = \ [mm] e^{-2x}$ [/mm] sowie $v \ = \ [mm] \sin^2(\pi*x)$ [/mm] .
Dann kannst Du bei $v'_$ wie folgt zusammfassen zu: $v' \ = \ ... \ = \ [mm] \pi*\sin(2\pi*x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:14 Di 22.01.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Hey...
Irgendwie rechne ich im Kreis...Ich bin jetzt bei der dritten partiellen Integration und kehre wieder dahin wo ich mit der ersten angefangen habe..?
Grüße, Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Di 22.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Dann poste doch mal bitte Deinen Rechenweg ...
Gruß
Loddar
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SRY LEUTE --- CLOSED bitte...
Direkt dicker Fehler in meiner ersten Zeile beim Rechenweg!!!!!!
Gute Nacht@all 
Jetzt kann ich doch noch beruhigt schlafen...loool :D
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ja is doch wunderbar wenn du wieder das ausgangsintegral herausbekommst...
im prinzip hast du ja:
I = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-2x}\cdot{}sin^{2}(\pi\cdot{}x) dx}
[/mm]
nach deiner rechnung hast du dann
I = [mm] -0.5e^{-2x}\cdot{}cos(2\pi\cdot{}x)+\pi\cdot{}\integral_{0}^{1}{sin(2\pi\cdot{}x)\cdot{}e^{-2x} dx}
[/mm]
also: I = [mm] -0.5e^{-2x}\cdot{}cos(2\pi\cdot{}x)+\pi\cdot{}I
[/mm]
dann kannst dus einfach nach I auflösen und deine grenzen einsetzen! bedenke, dass für die richtige lösung 1I brauchst
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Vielen Dank für die Auflösung.
Nur leuchtet mir der Rechneweg mit der Integralmuliplikation auf der lezten Zeile nicht ganz ein. Warum kann man das Integral einfach multiplizieren, welche Regel steck dahinter?
Gruß DerSpringer
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du kannst das ganze ja 100 mal nacheinander integrieren der rest wird immer wieder gleich sein...
und deshalb kannst du sagen dass der letzte Teil I bzw [mm] \pi*I [/mm] ist...
Vorrausgesetzt dass du dich nicht verrechnet hast! Wenn du ein bisschen in deiner FS rumsuchst wirst du die regel auch finden...
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hi..
I = $ [mm] -0.5e^{-2x}\cdot{}cos(2\pi\cdot{}x)+\pi\cdot{}\integral_{0}^{1}{sin(2\pi\cdot{}x)\cdot{}e^{-2x} dx} [/mm] $
[mm] sin(2Pi*x)*e^{-2x} [/mm] is doch nicht das ausgangsintegral!! oder wieso würde es gelten?? im ausgangsintegral ist ein sinus quadrat!
Gruß
SRY ich weiß auch nich wie ich das geschafft habe, aber ich hab meinen kompletten Rechnungsweg gelöscht O.O.....
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) dx}=-0.5e^{-2x}*\pi*sin(2*\pi*x)+0.5\pi*\integral_{0}^{1}{sin^(2\pi*x)*e^{-2x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{sin^(2\pi*x)*e^{-2x} dx}=-0.5e^{-2x}*sin^{2\pi*x}+\pi*\integral_{0}^{1}{cos^(2\pi*x)*e^{-2x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{cos^(2\pi*x)*e^{-2x} dx}=-0.5e^{-2x}*cos^{2\pi*x}+\pi*\integral_{0}^{1}{sin^(2\pi*x)*e^{-2x} dx} [/mm]
Ok lol, hatte es noch im Cache liegen^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mi 23.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
ok sorry das quadrat habe ich übersehen :-( das tut mir leid nur hattest du daneben geschrieben, dass das wieder dasselbe ist und deshalb habe ich es wohl übersehen! dann kannst du das nactürlich nicht machen!
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Hallo,
> hi..
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> I =
> [mm]-0.5e^{-2x}\cdot{}cos(2\pi\cdot{}x)+\pi\cdot{}\integral_{0}^{1}{sin(2\pi\cdot{}x)\cdot{}e^{-2x} dx}[/mm]
>
> [mm]sin(2Pi*x)*e^{-2x}[/mm] is doch nicht das ausgangsintegral!!
> oder wieso würde es gelten?? im ausgangsintegral ist ein
> sinus quadrat!
>
> Gruß
>
> SRY ich weiß auch nich wie ich das geschafft habe, aber ich
> hab meinen kompletten Rechnungsweg gelöscht O.O.....
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) dx}=-0.5e^{-2x}*\pi*sin(2*\pi*x)+0.5\pi*\integral_{0}^{1}{sin^(2\pi*x)*e^{-2x} dx}[/mm]
Da ist ein kleiner Fehler. Du könntest schreiben
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=-\bruch{\pi}{2}*e^{-2x}*sin(\pi*x)+\bruch{\pi}{2}*\integral_{0}^{1}2*sin(\pi*x)*cos(\pi*x)*\pi*e^{-2x} \;dx[/mm]
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=-\bruch{\pi}{2}*e^{-2x}*sin(\pi*x)+\bruch{\pi^2}{2}*\integral_{0}^{1}sin^(2\pi*x)*e^{-2x} \;dx[/mm]
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=-\bruch{\pi}{2}*e^{-2x}*sin(\pi*x)-\bruch{\pi^2}{4}*e^{-2x}*sin(2\pi*x)+\bruch{\pi^2}{4}*\integral_{0}^{1}cos(2\pi*x)*2\pi*e^{-2x} \;dx[/mm]
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=-\bruch{\pi}{2}*e^{-2x}*sin(\pi*x)-\bruch{\pi^2}{4}*e^{-2x}*sin(2\pi*x)+\bruch{\pi^3}{2}*\integral_{0}^{1}cos(2\pi*x)*e^{-2x} \;dx[/mm]
Nun kommt das Additionstheorem
[mm] $cos(2\pi*x) [/mm] = [mm] 1-2*sin^2(\pi*x)$ [/mm] zum Zuge:
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=\left[-\bruch{\pi}{2}e^{-2x}*sin(\pi*x)\right]_{0}^{1}-\left[\bruch{\pi^2}{4}*e^{-2x}*sin(2\pi*x)\right]_{0}^{1}+\bruch{\pi^3}{2}*\integral_{0}^{1}e^{-2x}\;dx -\bruch{\pi^3}{2}*\integral_{0}^{1}2*sin^2(\pi*x)*e^{-2x} \;dx[/mm]
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=\left[-\bruch{\pi}{2}e^{-2x}*sin(\pi*x)\right]_{0}^{1}-\left[\bruch{\pi^2}{4}*e^{-2x}*sin(2\pi*x)\right]_{0}^{1}+\bruch{\pi^3}{2}*\integral_{0}^{1}e^{-2x}\;dx -\pi^3*\integral_{0}^{1}sin^2(\pi*x)*e^{-2x} \;dx[/mm]
[mm](\pi+\pi^3)*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=\left[-\bruch{\pi}{2}e^{-2x}*sin(\pi*x)\right]_{0}^{1}-\left[\bruch{\pi^2}{4}*e^{-2x}*sin(2\pi*x)\right]_{0}^{1}-\bruch{\pi^3}{4}*\left[e^{-2x}\right]_{0}^{1}[/mm]
[mm](\pi+\pi^3)*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=-\bruch{\pi^3}{4}*\left[e^{-2x}\right]_{0}^{1}[/mm]
[mm]\pi*\integral_{0}^{1}e^{-2x}*sin^{2}(\pi*x) \;dx=\bruch{-\pi^4}{4*(\pi+\pi^3)}*\left[e^{-2x}\right]_{0}^{1}[/mm]
LG, Martinius
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Hey, vielen Dank erstmal allen!
Dann hab ich nur noch eine kleine Frage ;)
Und kann man Funktionen gleichsetzen,
$ [mm] cos(2\pi\cdot{}x) [/mm] = [mm] 1-2\cdot{}sin^2(\pi\cdot{}x) [/mm] $ zum Zuge:
die einen unterschiedlichen Grahpen jeweils haben? Aber aus irgendeiner Theorie gleich sind und deshalb ausgetauscht werden können?
Gruß Daniel
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Hallo Blaub33b3,
die beiden Funktionen links und rechts vom Gleichheitszeichen sind identisch! (Siehe eine Formelsammlung.)
Lass es dir von einem Plotter zeichnen.
LG, Martinius
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