MAXWELL, Strömungsfeld < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo E-Techniker!
Ich würde gerne selbst einmal versuchen, die MAXWELLschen Gleichungen zu interpretieren. Dafür notiere ich jene Gleichungen zunächst für den Fall isotroper Materialien im stationären Strömungsfeld:
1. MAXWELLsche Gleichung
[mm] rot\vec{E}=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0
[/mm]
Erklärung der Differentialform:
Diese Gleichunge sagt, dass das elektrostatische Feld kein Wirbelfeld ist. Anders ausgedrückt: Die Feldlinien der elektrischen Feldstärke haben eine Quelle (Ladungen) und eine Senke (Aufpunkt) und stellen somit kein Wirbelfeld dar.
Erklärung der Integralform:
Diese Gleichung sagt, dass die elektrische Feldstärke, integriert über eine geschlossene Randkurve immer 0 ist. Da Wirbelfeldlinien keinen Anfang und kein Ende haben, sind sie also auch immer geschlossene Randkurven. Somit kann man auch hier erkennen, dass das elektrostatische Feld kein Wirbelfeld ist.
2. MAXWELLsche Gleichung
[mm] rot\vec{H}=\vec{J}\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}} [/mm] (Durchflutungsgesetz)
Erklärung der Differentialform:
Die Wirbel der magnetischen Feldstärke finden ihren Ursprung in der vom elektrischen Strom hervorgerufenen Stromdichte.
Erklärung der Integralform:
Die magnetische Feldstärke, integriert über die geschlossene Randkurve ist gleich der Stromdichte, integriert über die Fläche, welche von der besagten Randkurve eingeschlossen wird.
3. MAXWELLsche Gleichung
[mm] div\vec{D}=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}} [/mm] (Gaußsches Gesetz)
Erklärung der Differentialform:
Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte sind die Ladungen.
Erklärung der Integrlform:
Das geschlossene Hüllflächenintegral über die Verschiebungsdichte ist gleich der Ladung, integriert über das gesamte Volumen, welches von der besagten Hüllfläche eingeschlossen wird.
4. MAXWELLsche Gleichung
[mm] div\vec{B}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0
[/mm]
Erklärung der Differentialform:
Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte haben weder Quellen noch Senken; das magnetische Feld ist also ein Wirbelfeld.
Erklärung der Integralform:
Das geschlossene Hüllflächenintegral über die magnetische Flussdichte ist 0.
Außerdem liegen diesen Gleichungen die folgenden Materialbeziehungen zugrunde, sofern es sich um isotrope Materialien handelt.
(1) [mm] \vec{D}=\epsilon\vec{E}
[/mm]
(2) [mm] \vec{B}=\mu\vec{H}
[/mm]
(3) [mm] \vec{J}=\kappa\vec{E}
[/mm]
Erklärungsversuch, Isotropie:
Von isotropen Materialien spricht man, wenn die entsprechende Materialkonstante der aufgeführten Materialbeziehungen die Orientierung der dazugehörigen Dichte- sowie Feldstärkengröße in die gleiche Richtung nicht verändert.
Fragen:
Aus der 2. MAXWELLschen Gleichung i.V.m. der Materialbeziehung (3) folgere ich, dass im stationären Strömungsfeld, das elektrostatische und das magnetostatische Feld miteinander verkoppelt werden. Demzufolge hat man im Bereich des stationären Strömungsfeldes neben elektrostatischen Ladungen auch elektrische Ströme. Daher meine Fragen:
1) Wo genau befinden sich Ladungen im stationären Strömungsfeld und durch welche Größe werden sie berücksichtigt? Ich habe diesbezüglich etwas über eine Konvektionsstromdichte [mm] \vec{J}_{k} [/mm] gelesen.
2.) Auf welche Größe bezieht sich dann der elektrische Strom? Wäre das in diesem Fall die eingeprägte Stromdichte [mm] \vec{J}_{e}?
[/mm]
3.) Welche Stromdichte habe ich oben in den MAXWELLschen Gleichungen aufgeführt? Wäre das dann die Leitungsstromdichte [mm] \vec{J}_{l}?
[/mm]
4.) Warum Warum gilt dann die folgende Gleichung, die besagt, dass das stationäre Strömungsfeld Quellenfrei sei, obwohl trotzdem Quellen in Form von Ladungen berücksichtigt werden?
[mm] div\vec{J}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{J}*d{A}}=0
[/mm]
5.) Durch welche MAXWELLgleichung bekomme ich diese Information aus 4.)?
Über hilfreiche Antworten sowie über eine kritische Korrekturlesung würde ich mich freuen. Vielen Dank!
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo E-Techniker!
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>
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>
>
> Ich würde gerne selbst einmal versuchen, die MAXWELLschen
> Gleichungen zu interpretieren. Dafür notiere ich jene
> Gleichungen zunächst für den Fall isotroper Materialien
> im stationären Strömungsfeld:
>
>
>
> 1. MAXWELLsche Gleichung
>
>
>
> [mm]rot\vec{E}=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0[/mm]
>
>
>
> Erklärung der Differentialform:
>
>
> Diese Gleichunge sagt, dass das elektrostatische Feld kein
> Wirbelfeld ist. Anders ausgedrückt: Die Feldlinien der
> elektrischen Feldstärke haben eine Quelle (Ladungen) und
> eine Senke (Aufpunkt) und stellen somit kein Wirbelfeld
> dar.
>
>
>
> Erklärung der Integralform:
>
>
> Diese Gleichung sagt, dass die elektrische Feldstärke,
> integriert über eine geschlossene Randkurve immer 0 ist.
> Da Wirbelfeldlinien keinen Anfang und kein Ende haben, sind
> sie also auch immer geschlossene Randkurven. Somit kann man
> auch hier erkennen, dass das elektrostatische Feld kein
> Wirbelfeld ist.
>
>
>
>
>
> 2. MAXWELLsche Gleichung
>
>
>
> [mm]rot\vec{H}=\vec{J}\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}[/mm]
> (Durchflutungsgesetz)
>
>
>
> Erklärung der Differentialform:
>
>
> Die Wirbel der magnetischen Feldstärke finden ihren
> Ursprung in der vom elektrischen Strom hervorgerufenen
> Stromdichte.
>
>
>
> Erklärung der Integralform:
>
>
> Die magnetische Feldstärke, integriert über die
> geschlossene Randkurve ist gleich der Stromdichte,
> integriert über die Fläche, welche von der besagten
> Randkurve eingeschlossen wird.
>
>
>
>
>
> 3. MAXWELLsche Gleichung
>
>
>
> [mm]div\vec{D}=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}}[/mm]
> (Gaußsches Gesetz)
>
>
>
> Erklärung der Differentialform:
>
>
> Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte sind die
> Ladungen.
>
>
>
> Erklärung der Integrlform:
>
>
> Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> Verschiebungsdichte ist gleich der Ladung, integriert über
> das gesamte Volumen, welches von der besagten Hüllfläche
> eingeschlossen wird.
>
>
>
>
>
> 4. MAXWELLsche Gleichung
>
>
>
> [mm]div\vec{B}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0[/mm]
>
>
>
> Erklärung der Differentialform:
>
>
> Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte haben weder
> Quellen noch Senken; das magnetische Feld ist also ein
> Wirbelfeld.
>
>
>
> Erklärung der Integralform:
>
>
> Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> magnetische Flussdichte ist 0.
Soweit ok, bis auf die Tatsache, dass du die zeitabhängigen Anteile weggelassen hast.
>
>
>
>
> Außerdem liegen diesen Gleichungen die folgenden
> Materialbeziehungen zugrunde, sofern es sich um isotrope
> Materialien handelt.
>
>
> (1) [mm]\vec{D}=\epsilon\vec{E}[/mm]
>
> (2) [mm]\vec{B}=\mu\vec{H}[/mm]
Auch OK. Diese Gleichungen gelten allgemein.
>
> (3) [mm]\vec{J}=\kappa\vec{E}[/mm]
Das stimmt so allgemein nicht. Links steht die Leitungsstromdichte. Die Stromdichte setzt sich zusammen als Summe
1. der Leitungsstromdichte (Strom im Leiter durch ein im Leiter herrschendes elektrisches Feld)
2. der Konvektionsstromdichte (Bewegung der Ladungsträger durch äußere Kräfte)
3. der eingeprägten Stromdichte (z.B. bei Antennen)
>
>
>
> Erklärungsversuch, Isotropie:
>
>
> Von isotropen Materialien spricht man, wenn die
> entsprechende Materialkonstante der aufgeführten
> Materialbeziehungen die Orientierung der dazugehörigen
> Dichte- sowie Feldstärkengröße in die gleiche Richtung
> nicht verändert.
>
>
>
>
> Fragen:
>
>
> Aus der 2. MAXWELLschen Gleichung i.V.m. der
> Materialbeziehung (3) folgere ich, dass im stationären
> Strömungsfeld, das elektrostatische und das
> magnetostatische Feld miteinander verkoppelt werden.
> Demzufolge hat man im Bereich des stationären
> Strömungsfeldes neben elektrostatischen Ladungen auch
> elektrische Ströme. Daher meine Fragen:
>
>
> 1) Wo genau befinden sich Ladungen im stationären
> Strömungsfeld und durch welche Größe werden sie
> berücksichtigt? Ich habe diesbezüglich etwas über eine
> Konvektionsstromdichte [mm]\vec{J}_{k}[/mm] gelesen.
Im stationären Strömungsfeld bewegen sich elektrostatische Ladungen. Wenn es sich z.B um einen Kupferleiter handelt, an dem eine Spannung anliegt, dann liegt offensichtlich nur Leitungsstrom vor. Wenn die Ladungen vom Wind bewegt werden, liegt Konvektionsstrom vor.
>
> 2.) Auf welche Größe bezieht sich dann der elektrische
> Strom? Wäre das in diesem Fall die eingeprägte
> Stromdichte [mm]\vec{J}_{e}?[/mm]
Kommt drauf an, was du meinst. Im allgemeinen ist die Stromdichte eben die Summe der drei Anteile.
> 3.) Welche Stromdichte habe ich oben in den MAXWELLschen
> Gleichungen aufgeführt? Wäre das dann die
> Leitungsstromdichte [mm]\vec{J}_{l}?[/mm]
Die Summe aus den drei Anteilen.
>
>
> 4.) Warum Warum gilt dann die folgende Gleichung, die
> besagt, dass das stationäre Strömungsfeld Quellenfrei
> sei, obwohl trotzdem Quellen in Form von Ladungen
> berücksichtigt werden?
>
>
> [mm]div\vec{J}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{J}*d{A}}=0[/mm]
Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
Das ist mehr oder weniger die Definition des Begriffes stationär. Du hast zwar Ladungen als Quellen des elektrischen Feldes, aber die zeitliche Ableitung der Ladungsdichte ist 0. Das heisst, dass in jedes noch so kleine Volumen genauso Strom (Ladung pro Zeiteinheit) hineinfliesst wie auch wieder hinausfliesst.
Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
>
>
>
> 5.) Durch welche MAXWELLgleichung bekomme ich diese
> Information aus 4.)?
Unmittelbar aus dem Durchflutungsgesetz:
[mm] \mathop{\mathrm{div}} J = \mathop{\mathrm{div}} \left( \mathop{\mathrm{rot}} H -\bruch{\partial D}{\partial t}\right) = 0 - \bruch{\partial}{\partial t} \mathop{\mathrm{div}} D = - \bruch{\partial}{\partial t} \rho = 0[/mm] .
(Die Divergenz eines reinen Wirbelfeldes ist immer 0, da es keine Quellen hat, und die zeitliche Ableitung der Ladungsdichte im stationären Strömungsfeld ist 0.)
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
> Hallo Marcel!
>
> > Hallo E-Techniker!
> >
> >
> >
> >
> >
> > Ich würde gerne selbst einmal versuchen, die MAXWELLschen
> > Gleichungen zu interpretieren. Dafür notiere ich jene
> > Gleichungen zunächst für den Fall isotroper Materialien
> > im stationären Strömungsfeld:
> >
> >
> >
> > 1. MAXWELLsche Gleichung
> >
> >
> >
> >
> [mm]rot\vec{E}=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0[/mm]
> >
> >
> >
> > Erklärung der Differentialform:
> >
> >
> > Diese Gleichunge sagt, dass das elektrostatische Feld kein
> > Wirbelfeld ist. Anders ausgedrückt: Die Feldlinien der
> > elektrischen Feldstärke haben eine Quelle (Ladungen) und
> > eine Senke (Aufpunkt) und stellen somit kein Wirbelfeld
> > dar.
> >
> >
> >
> > Erklärung der Integralform:
> >
> >
> > Diese Gleichung sagt, dass die elektrische Feldstärke,
> > integriert über eine geschlossene Randkurve immer 0 ist.
> > Da Wirbelfeldlinien keinen Anfang und kein Ende haben, sind
> > sie also auch immer geschlossene Randkurven. Somit kann man
> > auch hier erkennen, dass das elektrostatische Feld kein
> > Wirbelfeld ist.
> >
> >
> >
> >
> >
> > 2. MAXWELLsche Gleichung
> >
> >
> >
> >
> [mm]rot\vec{H}=\vec{J}\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}[/mm]
> > (Durchflutungsgesetz)
> >
> >
> >
> > Erklärung der Differentialform:
> >
> >
> > Die Wirbel der magnetischen Feldstärke finden ihren
> > Ursprung in der vom elektrischen Strom hervorgerufenen
> > Stromdichte.
> >
> >
> >
> > Erklärung der Integralform:
> >
> >
> > Die magnetische Feldstärke, integriert über die
> > geschlossene Randkurve ist gleich der Stromdichte,
> > integriert über die Fläche, welche von der besagten
> > Randkurve eingeschlossen wird.
> >
> >
> >
> >
> >
> > 3. MAXWELLsche Gleichung
> >
> >
> >
> >
> [mm]div\vec{D}=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}}[/mm]
> > (Gaußsches Gesetz)
> >
> >
> >
> > Erklärung der Differentialform:
> >
> >
> > Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte sind die
> > Ladungen.
> >
> >
> >
> > Erklärung der Integrlform:
> >
> >
> > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > Verschiebungsdichte ist gleich der Ladung, integriert über
> > das gesamte Volumen, welches von der besagten Hüllfläche
> > eingeschlossen wird.
> >
> >
> >
> >
> >
> > 4. MAXWELLsche Gleichung
> >
> >
> >
> >
> [mm]div\vec{B}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0[/mm]
> >
> >
> >
> > Erklärung der Differentialform:
> >
> >
> > Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte haben weder
> > Quellen noch Senken; das magnetische Feld ist also ein
> > Wirbelfeld.
> >
> >
> >
> > Erklärung der Integralform:
> >
> >
> > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > magnetische Flussdichte ist 0.
>
> Soweit ok, bis auf die Tatsache, dass du die
> zeitabhängigen Anteile weggelassen hast.
>
> >
> >
> >
> >
> > Außerdem liegen diesen Gleichungen die folgenden
> > Materialbeziehungen zugrunde, sofern es sich um isotrope
> > Materialien handelt.
> >
> >
> > (1) [mm]\vec{D}=\epsilon\vec{E}[/mm]
> >
> > (2) [mm]\vec{B}=\mu\vec{H}[/mm]
>
> Auch OK. Diese Gleichungen gelten allgemein.
>
> >
> > (3) [mm]\vec{J}=\kappa\vec{E}[/mm]
>
> Das stimmt so allgemein nicht. Links steht die
> Leitungsstromdichte. Die Stromdichte setzt sich zusammen
> als Summe
>
> 1. der Leitungsstromdichte (Strom im Leiter durch ein im
> Leiter herrschendes elektrisches Feld)
> 2. der Konvektionsstromdichte (Bewegung der Ladungsträger
> durch äußere Kräfte)
> 3. der eingeprägten Stromdichte (z.B. bei Antennen)
>
>
>
> >
> >
> >
> > Erklärungsversuch, Isotropie:
> >
> >
> > Von isotropen Materialien spricht man, wenn die
> > entsprechende Materialkonstante der aufgeführten
> > Materialbeziehungen die Orientierung der dazugehörigen
> > Dichte- sowie Feldstärkengröße in die gleiche Richtung
> > nicht verändert.
> >
> >
> >
> >
> > Fragen:
> >
> >
> > Aus der 2. MAXWELLschen Gleichung i.V.m. der
> > Materialbeziehung (3) folgere ich, dass im stationären
> > Strömungsfeld, das elektrostatische und das
> > magnetostatische Feld miteinander verkoppelt werden.
> > Demzufolge hat man im Bereich des stationären
> > Strömungsfeldes neben elektrostatischen Ladungen auch
> > elektrische Ströme. Daher meine Fragen:
> >
> >
> > 1) Wo genau befinden sich Ladungen im stationären
> > Strömungsfeld und durch welche Größe werden sie
> > berücksichtigt? Ich habe diesbezüglich etwas über eine
> > Konvektionsstromdichte [mm]\vec{J}_{k}[/mm] gelesen.
>
> Im stationären Strömungsfeld bewegen sich
> elektrostatische Ladungen. Wenn es sich z.B um einen
> Kupferleiter handelt, an dem eine Spannung anliegt, dann
> liegt offensichtlich nur Leitungsstrom vor. Wenn die
> Ladungen vom Wind bewegt werden, liegt Konvektionsstrom
> vor.
Könntest du vielleicht noch etwas über [mm] \vec_{J}_{e} [/mm] erzählen? Oben hattest du als Beispiel "Antennen" aufgeführt. Wie arbeitet sie in diesem Bereich? Im Skript steht, dass [mm] \vec{J}_{e} [/mm] die Quelle des elektromagnetischen Feldes sei.
Verstehe ich es richtig wenn ich den Begriff "Elektromagnetismus" als Synonym für das "stationäre Strömungsfeld" annehme?
> > 2.) Auf welche Größe bezieht sich dann der elektrische
> > Strom? Wäre das in diesem Fall die eingeprägte
> > Stromdichte [mm]\vec{J}_{e}?[/mm]
>
> Kommt drauf an, was du meinst. Im allgemeinen ist die
> Stromdichte eben die Summe der drei Anteile.
>
> > 3.) Welche Stromdichte habe ich oben in den MAXWELLschen
> > Gleichungen aufgeführt? Wäre das dann die
> > Leitungsstromdichte [mm]\vec{J}_{l}?[/mm]
>
> Die Summe aus den drei Anteilen.
>
> >
> >
> > 4.) Warum Warum gilt dann die folgende Gleichung, die
> > besagt, dass das stationäre Strömungsfeld Quellenfrei
> > sei, obwohl trotzdem Quellen in Form von Ladungen
> > berücksichtigt werden?
> >
> >
> > [mm]div\vec{J}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{J}*d{A}}=0[/mm]
>
> Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
Was ist die Quelle der Stromdichte? Der elektrische Strom I?
> Das ist mehr oder weniger die Definition des Begriffes
> stationär. Du hast zwar Ladungen als Quellen des
> elektrischen Feldes, aber die zeitliche Ableitung der
> Ladungsdichte ist 0. Das heisst, dass in jedes noch so
> kleine Volumen genauso Strom (Ladung pro Zeiteinheit)
> hineinfliesst wie auch wieder hinausfliesst.
Also quasi ein Sachverhalt, aufbauend auf dem 1. Kirchhoffsche Gesetz.
> Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
>
> >
> >
> >
> > 5.) Durch welche MAXWELLgleichung bekomme ich diese
> > Information aus 4.)?
>
> Unmittelbar aus dem Durchflutungsgesetz:
>
> [mm]\mathop{\mathrm{div}} J = \mathop{\mathrm{div}} \left( \mathop{\mathrm{rot}} H -\bruch{\partial D}{\partial t}\right) = 0 - \bruch{\partial}{\partial t} \mathop{\mathrm{div}} D = - \bruch{\partial}{\partial t} \rho = 0[/mm]
> .
>
> (Die Divergenz eines reinen Wirbelfeldes ist immer 0, da es
> keine Quellen hat, und die zeitliche Ableitung der
> Ladungsdichte im stationären Strömungsfeld ist 0.)
Die Ursache eines Wirbelfeldes ist aber der elektrische Strom, oder? (Rechtsschraubenregel)
Vielen Dank!
Gruß, Marcel
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Hallo!
>
>
>
> > Hallo Marcel!
> >
> > > Hallo E-Techniker!
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Ich würde gerne selbst einmal versuchen, die MAXWELLschen
> > > Gleichungen zu interpretieren. Dafür notiere ich jene
> > > Gleichungen zunächst für den Fall isotroper Materialien
> > > im stationären Strömungsfeld:
> > >
> > >
> > >
> > > 1. MAXWELLsche Gleichung
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]rot\vec{E}=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Differentialform:
> > >
> > >
> > > Diese Gleichunge sagt, dass das elektrostatische Feld kein
> > > Wirbelfeld ist. Anders ausgedrückt: Die Feldlinien der
> > > elektrischen Feldstärke haben eine Quelle (Ladungen) und
> > > eine Senke (Aufpunkt) und stellen somit kein Wirbelfeld
> > > dar.
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Integralform:
> > >
> > >
> > > Diese Gleichung sagt, dass die elektrische Feldstärke,
> > > integriert über eine geschlossene Randkurve immer 0 ist.
> > > Da Wirbelfeldlinien keinen Anfang und kein Ende haben, sind
> > > sie also auch immer geschlossene Randkurven. Somit kann man
> > > auch hier erkennen, dass das elektrostatische Feld kein
> > > Wirbelfeld ist.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > 2. MAXWELLsche Gleichung
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]rot\vec{H}=\vec{J}\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}[/mm]
> > > (Durchflutungsgesetz)
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Differentialform:
> > >
> > >
> > > Die Wirbel der magnetischen Feldstärke finden ihren
> > > Ursprung in der vom elektrischen Strom hervorgerufenen
> > > Stromdichte.
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Integralform:
> > >
> > >
> > > Die magnetische Feldstärke, integriert über die
> > > geschlossene Randkurve ist gleich der Stromdichte,
> > > integriert über die Fläche, welche von der besagten
> > > Randkurve eingeschlossen wird.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > 3. MAXWELLsche Gleichung
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{D}=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}}[/mm]
> > > (Gaußsches Gesetz)
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Differentialform:
> > >
> > >
> > > Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte sind die
> > > Ladungen.
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Integrlform:
> > >
> > >
> > > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > > Verschiebungsdichte ist gleich der Ladung, integriert über
> > > das gesamte Volumen, welches von der besagten Hüllfläche
> > > eingeschlossen wird.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > 4. MAXWELLsche Gleichung
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{B}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Differentialform:
> > >
> > >
> > > Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte haben weder
> > > Quellen noch Senken; das magnetische Feld ist also ein
> > > Wirbelfeld.
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärung der Integralform:
> > >
> > >
> > > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > > magnetische Flussdichte ist 0.
> >
> > Soweit ok, bis auf die Tatsache, dass du die
> > zeitabhängigen Anteile weggelassen hast.
> >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Außerdem liegen diesen Gleichungen die folgenden
> > > Materialbeziehungen zugrunde, sofern es sich um isotrope
> > > Materialien handelt.
> > >
> > >
> > > (1) [mm]\vec{D}=\epsilon\vec{E}[/mm]
> > >
> > > (2) [mm]\vec{B}=\mu\vec{H}[/mm]
> >
> > Auch OK. Diese Gleichungen gelten allgemein.
> >
> > >
> > > (3) [mm]\vec{J}=\kappa\vec{E}[/mm]
> >
> > Das stimmt so allgemein nicht. Links steht die
> > Leitungsstromdichte. Die Stromdichte setzt sich zusammen
> > als Summe
> >
> > 1. der Leitungsstromdichte (Strom im Leiter durch ein im
> > Leiter herrschendes elektrisches Feld)
> > 2. der Konvektionsstromdichte (Bewegung der
> Ladungsträger
> > durch äußere Kräfte)
> > 3. der eingeprägten Stromdichte (z.B. bei Antennen)
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Erklärungsversuch, Isotropie:
> > >
> > >
> > > Von isotropen Materialien spricht man, wenn die
> > > entsprechende Materialkonstante der aufgeführten
> > > Materialbeziehungen die Orientierung der dazugehörigen
> > > Dichte- sowie Feldstärkengröße in die gleiche Richtung
> > > nicht verändert.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Fragen:
> > >
> > >
> > > Aus der 2. MAXWELLschen Gleichung i.V.m. der
> > > Materialbeziehung (3) folgere ich, dass im stationären
> > > Strömungsfeld, das elektrostatische und das
> > > magnetostatische Feld miteinander verkoppelt werden.
> > > Demzufolge hat man im Bereich des stationären
> > > Strömungsfeldes neben elektrostatischen Ladungen auch
> > > elektrische Ströme. Daher meine Fragen:
> > >
> > >
> > > 1) Wo genau befinden sich Ladungen im stationären
> > > Strömungsfeld und durch welche Größe werden sie
> > > berücksichtigt? Ich habe diesbezüglich etwas über eine
> > > Konvektionsstromdichte [mm]\vec{J}_{k}[/mm] gelesen.
> >
> > Im stationären Strömungsfeld bewegen sich
> > elektrostatische Ladungen. Wenn es sich z.B um einen
> > Kupferleiter handelt, an dem eine Spannung anliegt, dann
> > liegt offensichtlich nur Leitungsstrom vor. Wenn die
> > Ladungen vom Wind bewegt werden, liegt Konvektionsstrom
> > vor.
>
>
>
> Könntest du vielleicht noch etwas über [mm]\vec_{J}_{e}[/mm]
> erzählen? Oben hattest du als Beispiel "Antennen"
> aufgeführt. Wie arbeitet sie in diesem Bereich? Im Skript
> steht, dass [mm]\vec{J}_{e}[/mm] die Quelle des elektromagnetischen
> Feldes sei.
Was meisnt du mit "arbeiten"?
[mm] $J_e$ [/mm] bedeutet eine von außen vorgegebene Stromdichte, zum Beispiel als Randbedingung. Sie entsteht nicht durch Bewegung von Ladungen. Diese Unterscheidung ist gewissermaßen künstlich; sie entsteht dadurch, dass ich ein nicht abgeschlossenes System betrachte. Daher kann es am Rand eine Stromdichte geben, deren Ursache niucht weiter erklärt wird.
> Verstehe ich es richtig wenn ich den Begriff
> "Elektromagnetismus" als Synonym für das "stationäre
> Strömungsfeld" annehme?
Nein, das sehe ich nicht, wieso sollte das so sein?
> > > 2.) Auf welche Größe bezieht sich dann der elektrische
> > > Strom? Wäre das in diesem Fall die eingeprägte
> > > Stromdichte [mm]\vec{J}_{e}?[/mm]
> >
> > Kommt drauf an, was du meinst. Im allgemeinen ist die
> > Stromdichte eben die Summe der drei Anteile.
> >
> > > 3.) Welche Stromdichte habe ich oben in den MAXWELLschen
> > > Gleichungen aufgeführt? Wäre das dann die
> > > Leitungsstromdichte [mm]\vec{J}_{l}?[/mm]
> >
> > Die Summe aus den drei Anteilen.
> >
> > >
> > >
> > > 4.) Warum Warum gilt dann die folgende Gleichung, die
> > > besagt, dass das stationäre Strömungsfeld Quellenfrei
> > > sei, obwohl trotzdem Quellen in Form von Ladungen
> > > berücksichtigt werden?
> > >
> > >
> > > [mm]div\vec{J}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{J}*d{A}}=0[/mm]
> >
> > Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
>
>
> Was ist die Quelle der Stromdichte? Der elektrische Strom
> I?
Die Divergenz der Stromdichte ist hier 0, es gibt keine Quellen.
Im Allgemeinen gilt die Kontinuitätsgleichung an: [mm] $\mathop{\mathrm{div}} [/mm] J + [mm] \dot\rho [/mm] = 0$.
> > Das ist mehr oder weniger die Definition des Begriffes
> > stationär. Du hast zwar Ladungen als Quellen des
> > elektrischen Feldes, aber die zeitliche Ableitung der
> > Ladungsdichte ist 0. Das heisst, dass in jedes noch so
> > kleine Volumen genauso Strom (Ladung pro Zeiteinheit)
> > hineinfliesst wie auch wieder hinausfliesst.
>
>
> Also quasi ein Sachverhalt, aufbauend auf dem 1.
> Kirchhoffsche Gesetz.
Da verdrehst du Voraussetzung und Folgerung. Die Kirchhoffschen Gesetze sind Folgerungen aus den Maxwellschen Gleichungen.
Ich habe dir doch die Ableitung hingeschrieben der Kontinuitätsgleichung hingeschrieben: aus der Voraussetzung "stationär", also [mm] $\dot \rho=$, [/mm] folgt, dass die Divergenz des Stromes verschwindet.
>
>
>
> > Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
> >
> > >
> > >
> > >
> > > 5.) Durch welche MAXWELLgleichung bekomme ich diese
> > > Information aus 4.)?
> >
> > Unmittelbar aus dem Durchflutungsgesetz:
> >
> > [mm]\mathop{\mathrm{div}} J = \mathop{\mathrm{div}} \left( \mathop{\mathrm{rot}} H -\bruch{\partial D}{\partial t}\right) = 0 - \bruch{\partial}{\partial t} \mathop{\mathrm{div}} D = - \bruch{\partial}{\partial t} \rho = 0[/mm]
> > .
> >
> > (Die Divergenz eines reinen Wirbelfeldes ist immer 0, da es
> > keine Quellen hat, und die zeitliche Ableitung der
> > Ladungsdichte im stationären Strömungsfeld ist 0.)
>
>
> Die Ursache eines Wirbelfeldes ist aber der elektrische
> Strom, oder? (Rechtsschraubenregel)
Nicht allein. Wie das Durchflutungsgesetz [mm] $\mathop{\mathrm{rot}} [/mm] H = j + [mm] \dot [/mm] D$ aussagt, entsteht das magnetische Feld aus der Summe der elektrischen Stromdichte und der zeitlichen Ableitung des elektrischen Felds.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
> Hallo Marcel!
>
> > Hallo!
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> > > Hallo Marcel!
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> > > > Hallo E-Techniker!
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> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Ich würde gerne selbst einmal versuchen, die MAXWELLschen
> > > > Gleichungen zu interpretieren. Dafür notiere ich jene
> > > > Gleichungen zunächst für den Fall isotroper Materialien
> > > > im stationären Strömungsfeld:
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 1. MAXWELLsche Gleichung
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]rot\vec{E}=0\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Differentialform:
> > > >
> > > >
> > > > Diese Gleichunge sagt, dass das elektrostatische Feld kein
> > > > Wirbelfeld ist. Anders ausgedrückt: Die Feldlinien der
> > > > elektrischen Feldstärke haben eine Quelle (Ladungen) und
> > > > eine Senke (Aufpunkt) und stellen somit kein Wirbelfeld
> > > > dar.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Integralform:
> > > >
> > > >
> > > > Diese Gleichung sagt, dass die elektrische Feldstärke,
> > > > integriert über eine geschlossene Randkurve immer 0 ist.
> > > > Da Wirbelfeldlinien keinen Anfang und kein Ende haben, sind
> > > > sie also auch immer geschlossene Randkurven. Somit kann man
> > > > auch hier erkennen, dass das elektrostatische Feld kein
> > > > Wirbelfeld ist.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 2. MAXWELLsche Gleichung
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]rot\vec{H}=\vec{J}\gdw\integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}[/mm]
> > > > (Durchflutungsgesetz)
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Differentialform:
> > > >
> > > >
> > > > Die Wirbel der magnetischen Feldstärke finden ihren
> > > > Ursprung in der vom elektrischen Strom hervorgerufenen
> > > > Stromdichte.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Integralform:
> > > >
> > > >
> > > > Die magnetische Feldstärke, integriert über die
> > > > geschlossene Randkurve ist gleich der Stromdichte,
> > > > integriert über die Fläche, welche von der besagten
> > > > Randkurve eingeschlossen wird.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 3. MAXWELLsche Gleichung
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{D}=\rho\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\rho{dV}}[/mm]
> > > > (Gaußsches Gesetz)
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Differentialform:
> > > >
> > > >
> > > > Die Quellen der elektrischen Verschiebungsdichte sind die
> > > > Ladungen.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Integrlform:
> > > >
> > > >
> > > > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > > > Verschiebungsdichte ist gleich der Ladung, integriert über
> > > > das gesamte Volumen, welches von der besagten Hüllfläche
> > > > eingeschlossen wird.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 4. MAXWELLsche Gleichung
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]div\vec{B}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Differentialform:
> > > >
> > > >
> > > > Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte haben weder
> > > > Quellen noch Senken; das magnetische Feld ist also ein
> > > > Wirbelfeld.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärung der Integralform:
> > > >
> > > >
> > > > Das geschlossene Hüllflächenintegral über die
> > > > magnetische Flussdichte ist 0.
> > >
> > > Soweit ok, bis auf die Tatsache, dass du die
> > > zeitabhängigen Anteile weggelassen hast.
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Außerdem liegen diesen Gleichungen die folgenden
> > > > Materialbeziehungen zugrunde, sofern es sich um isotrope
> > > > Materialien handelt.
> > > >
> > > >
> > > > (1) [mm]\vec{D}=\epsilon\vec{E}[/mm]
> > > >
> > > > (2) [mm]\vec{B}=\mu\vec{H}[/mm]
> > >
> > > Auch OK. Diese Gleichungen gelten allgemein.
> > >
> > > >
> > > > (3) [mm]\vec{J}=\kappa\vec{E}[/mm]
> > >
> > > Das stimmt so allgemein nicht. Links steht die
> > > Leitungsstromdichte. Die Stromdichte setzt sich zusammen
> > > als Summe
> > >
> > > 1. der Leitungsstromdichte (Strom im Leiter durch ein im
> > > Leiter herrschendes elektrisches Feld)
> > > 2. der Konvektionsstromdichte (Bewegung der
> > Ladungsträger
> > > durch äußere Kräfte)
> > > 3. der eingeprägten Stromdichte (z.B. bei
> Antennen)
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Erklärungsversuch, Isotropie:
> > > >
> > > >
> > > > Von isotropen Materialien spricht man, wenn die
> > > > entsprechende Materialkonstante der aufgeführten
> > > > Materialbeziehungen die Orientierung der dazugehörigen
> > > > Dichte- sowie Feldstärkengröße in die gleiche Richtung
> > > > nicht verändert.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Fragen:
> > > >
> > > >
> > > > Aus der 2. MAXWELLschen Gleichung i.V.m. der
> > > > Materialbeziehung (3) folgere ich, dass im stationären
> > > > Strömungsfeld, das elektrostatische und das
> > > > magnetostatische Feld miteinander verkoppelt werden.
> > > > Demzufolge hat man im Bereich des stationären
> > > > Strömungsfeldes neben elektrostatischen Ladungen auch
> > > > elektrische Ströme. Daher meine Fragen:
> > > >
> > > >
> > > > 1) Wo genau befinden sich Ladungen im stationären
> > > > Strömungsfeld und durch welche Größe werden sie
> > > > berücksichtigt? Ich habe diesbezüglich etwas über eine
> > > > Konvektionsstromdichte [mm]\vec{J}_{k}[/mm] gelesen.
> > >
> > > Im stationären Strömungsfeld bewegen sich
> > > elektrostatische Ladungen. Wenn es sich z.B um einen
> > > Kupferleiter handelt, an dem eine Spannung anliegt, dann
> > > liegt offensichtlich nur Leitungsstrom vor. Wenn die
> > > Ladungen vom Wind bewegt werden, liegt Konvektionsstrom
> > > vor.
> >
> >
> >
> > Könntest du vielleicht noch etwas über [mm]\vec_{J}_{e}[/mm]
> > erzählen? Oben hattest du als Beispiel "Antennen"
> > aufgeführt. Wie arbeitet sie in diesem Bereich? Im Skript
> > steht, dass [mm]\vec{J}_{e}[/mm] die Quelle des elektromagnetischen
> > Feldes sei.
>
> Was meisnt du mit "arbeiten"?
>
> [mm]J_e[/mm] bedeutet eine von außen vorgegebene Stromdichte, zum
> Beispiel als Randbedingung. Sie entsteht nicht durch
> Bewegung von Ladungen. Diese Unterscheidung ist
> gewissermaßen künstlich; sie entsteht dadurch, dass ich
> ein nicht abgeschlossenes System betrachte. Daher kann es
> am Rand eine Stromdichte geben, deren Ursache niucht weiter
> erklärt wird.
Okay, vielen Dank.
> > Verstehe ich es richtig wenn ich den Begriff
> > "Elektromagnetismus" als Synonym für das "stationäre
> > Strömungsfeld" annehme?
>
> Nein, das sehe ich nicht, wieso sollte das so sein?
Weil im stationären Strömungsfeld die MAXWELLschen Gleichungen aus der Elektrostatik und aus der Magnetostatik durch [mm] rot\vec{H}=\kappa\vec{E} [/mm] miteinander verkoppelt werden.
> > > > 2.) Auf welche Größe bezieht sich dann der elektrische
> > > > Strom? Wäre das in diesem Fall die eingeprägte
> > > > Stromdichte [mm]\vec{J}_{e}?[/mm]
> > >
> > > Kommt drauf an, was du meinst. Im allgemeinen ist die
> > > Stromdichte eben die Summe der drei Anteile.
> > >
> > > > 3.) Welche Stromdichte habe ich oben in den MAXWELLschen
> > > > Gleichungen aufgeführt? Wäre das dann die
> > > > Leitungsstromdichte [mm]\vec{J}_{l}?[/mm]
> > >
> > > Die Summe aus den drei Anteilen.
> > >
> > > >
> > > >
> > > > 4.) Warum Warum gilt dann die folgende Gleichung, die
> > > > besagt, dass das stationäre Strömungsfeld Quellenfrei
> > > > sei, obwohl trotzdem Quellen in Form von Ladungen
> > > > berücksichtigt werden?
> > > >
> > > >
> > > > [mm]div\vec{J}=0\gdw\integral_{\partial{V}}^{}{\vec{J}*d{A}}=0[/mm]
> > >
> > > Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
> >
> >
> > Was ist die Quelle der Stromdichte? Der elektrische Strom
> > I?
>
> Die Divergenz der Stromdichte ist hier 0, es gibt keine
> Quellen.
Alles klar, danke.
> Im Allgemeinen gilt die Kontinuitätsgleichung an:
> [mm]\mathop{\mathrm{div}} J + \dot\rho = 0[/mm].
>
> > > Das ist mehr oder weniger die Definition des Begriffes
> > > stationär. Du hast zwar Ladungen als Quellen des
> > > elektrischen Feldes, aber die zeitliche Ableitung der
> > > Ladungsdichte ist 0. Das heisst, dass in jedes noch so
> > > kleine Volumen genauso Strom (Ladung pro Zeiteinheit)
> > > hineinfliesst wie auch wieder hinausfliesst.
> >
> >
> > Also quasi ein Sachverhalt, aufbauend auf dem 1.
> > Kirchhoffsche Gesetz.
>
> Da verdrehst du Voraussetzung und Folgerung. Die
> Kirchhoffschen Gesetze sind Folgerungen aus den
> Maxwellschen Gleichungen.
Okay.
> Ich habe dir doch die Ableitung hingeschrieben der
> Kontinuitätsgleichung hingeschrieben: aus der
> Voraussetzung "stationär", also [mm]\dot \rho=[/mm], folgt, dass
> die Divergenz des Stromes verschwindet.
>
> >
> >
> >
> > > Die Quellen der Stromdichte sind nicht die Ladungen.
> > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > 5.) Durch welche MAXWELLgleichung bekomme ich diese
> > > > Information aus 4.)?
> > >
> > > Unmittelbar aus dem Durchflutungsgesetz:
> > >
> > > [mm]\mathop{\mathrm{div}} J = \mathop{\mathrm{div}} \left( \mathop{\mathrm{rot}} H -\bruch{\partial D}{\partial t}\right) = 0 - \bruch{\partial}{\partial t} \mathop{\mathrm{div}} D = - \bruch{\partial}{\partial t} \rho = 0[/mm]
> > > .
> > >
> > > (Die Divergenz eines reinen Wirbelfeldes ist immer 0, da es
> > > keine Quellen hat, und die zeitliche Ableitung der
> > > Ladungsdichte im stationären Strömungsfeld ist 0.)
> >
> >
> > Die Ursache eines Wirbelfeldes ist aber der elektrische
> > Strom, oder? (Rechtsschraubenregel)
>
> Nicht allein. Wie das Durchflutungsgesetz
> [mm]\mathop{\mathrm{rot}} H = j + \dot D[/mm] aussagt, entsteht das
> magnetische Feld aus der Summe der elektrischen Stromdichte
> und der zeitlichen Ableitung des elektrischen Felds.
Okay. Vielen Dank für deine schönen Erklärungen.
Gruß, Marcel
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mo 07.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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