ML-Schaetzer Poisson-Vert. < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:51 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
| Aufgabe | | Seien [mm] X_1,\ldots,X_n [/mm] unabhaengige, identisch [mm] \pi_\lambda [/mm] verteilte ZV, [mm] \lambda>0. [/mm] Bestimmen Sie den ML-Schaetzer [mm] \hat{\lambda} [/mm] fuer [mm] \lambda. [/mm] Ist [mm] \hat{\lambda} [/mm] erwartungstreu und effizient fuer [mm] \lambda? [/mm] |
Ich habe schon errechnet, dass der ML-Schaetzer gerade das arithmetische Mittel ist, und auch erwartungstreu. Ich habe aber noch Probleme mit der Effizienz.
Vorueberlegung: [mm] EX_iX_i=\lambda^2+\lambda [/mm] und fuer [mm] i\neq{}j [/mm] wegen Unabhaengigkeit [mm] EX_iX_j=EX_iX_j=\lambda^2 [/mm]
Also [mm] E_\lambda\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2=E_\lambda\left(\sum_{i=1}^nX_i^2+\sum_{1\leq{}i
Jetzt kann ich die Varianz von [mm] \hat{\lambda} [/mm] berechnen:
[mm] \mathrm{Var}_\lambda\hat{\lambda}(X)
[/mm]
[mm] =E_\lambda(\hat{\lambda}^2(X))-(E_\lambda\hat{\lambda}(X))^2
[/mm]
[mm] =E_\lambda\left(\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)-\lambda^2
[/mm]
[mm] =\frac{1}{n^2}(n(\lambda^2+\lambda)+\binom{n}{2}\lambda^2)-\lambda^2=\frac{\lambda^2+\lambda}{n}+\frac{\binom{n}{2}\lambda^2}{n^2}-\lambda^2
[/mm]
Ausserdem kann ich schonmal die CR-Schranke bestimmen, ohne im Detail geprueft zu haben ob sie hier gueltig ist. Sei [mm] K=\prod_{i=1}^nx_i!, [/mm] dann gilt
[mm] I(\lambda)=E_\lambda\left(\frac{\partial}{\partial\lambda}\log\frac{1}{K}\lambda^{\sum_{i=1}^nX_i}e^{-n\lambda}\right)^2
[/mm]
[mm] =E_\lambda\left(\log\frac{1}{K}+\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\log\lambda-n\lambda\right)^2
[/mm]
[mm] =E_\lambda\left(\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^nX_i-n\right)^2
[/mm]
[mm] =E_\lambda\left(\frac{1}{\lambda^2}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2-\frac{2n}{\lambda}\sum_{i=1}^nX_i+n^2\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\lambda^2}E_\lambda\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2-2n^2+n^2
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\lambda^2}(n(\lambda^2+\lambda)+\binom{n}{2})-n^2
[/mm]
[mm] =-n^2+\left(1+\frac{1}{\lambda}\right)n+\binom{n}{2}
[/mm]
Aber ich sehe nicht ganz, wie ich jetzt [mm] \frac{1}{I(\lambda)} [/mm] und [mm] \mathrm{Var}_\lambda\hat{\lambda} [/mm] zueinander in Verhaeltniss setzen kann und fuerchte fast dass ich mich irgendwo verrechnet habe. Kann mir jemand ein Hinweis geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Jetzt kann ich die Varianz von [mm]\hat{\lambda}[/mm] berechnen:
>
> [mm]\mathrm{Var}_\lambda\hat{\lambda}(X)[/mm]
[mm]\mathrm{Var}_\lambda\hat{\lambda}(X) =\frac{1}{n^2} \mathrm{Var}_\lambda (\sum x_i) =\frac{1}{n^2} \sum \mathrm{Var}_\lambda (x_i) = \frac{1}{n^2} n \mathrm{Var}_\lambda (X_1) =\frac{1}{n^2} n \lambda =\frac{\lambda}{n}
[/mm]
nach Bsp. 2.3.b) (Forts.), S.25, da die [mm] $X_i$ [/mm] iid. sind
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 So 17.01.2010 | | Autor: | mgoetze |
Hallo Frank,
ja, so lässt sich die Varianz leichter ausrechnen - eigentlich sollte aber doch das gleiche rauskommen. Ich hab also irgendwo ein Fehler gemacht und wäre froh wenn mich jemand darauf hinweisen könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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