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| Aufgabe | | Das Kreisteilungspolynom [tex]\phi_n[/tex] ist irreduzibel über [tex]\IQ[/tex] |
Hallo zusammen!
Diese Tatsache haben wir in der Vorlesung bewiesen. Ich habe den Beweis auch großteils verstanden, nur bei einem kleinen Argument komme ich nicht weiter. Ich denke, dass der Beweis meistens gleich geführt wird, aber ich skizziere hier noch einmal schnell die Idee.
Wir wissen, dass das Minimalpolynom $f$ auf jeden Fall [mm] $\phi_n$ [/mm] teilt. Wir wollen jetzt zeigen, dass [mm] $f(\zeta_n^i) [/mm] = 0$ für alle $i$ mit [mm] $\ggT(i,n) [/mm] = 1$ gilt. Dann wüssten wir, dass [mm] $f=\phi_n$ [/mm] gelten muss.
Wir haben jetzt einen raffinierten Widerspruchsbeweis für den Fall geführt, dass $i$ eine Primzahl ist [mm] ($x^n [/mm] - 1$ müsste dann doppelte Nullstellen haben, was nicht sein kann).
Laut Vorlesung kann man den Fall, dass $i$ keine Primzahl ist, sofort auf den Fall ersten Fall zurückführen und wir sind fertig. Aber das genau das verstehe ich nicht? Ich kann das $i$ natürlich mit dem Fundamentalsatz in Primfaktoren zerlegen, aber inwiefern hilft mir das weiter? Ich könnte natürlich für z.B. $i = [mm] p_1 \cdot p_2$ [/mm] anstatt $f(x)$ [mm] $f(x^{p_1})$ [/mm] betrachten, aber dabei könnte doch die Minmalpolynomeigenschaft flöten gehen, die für den Beweis so wichtig ist?
Es wäre sehr nett, wenn mir hier jemand den springenden Punkt dahinter erklären könnte.
Liebe Grüße,
Stephan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | PeterB |
Das ist recht einfach:
Ein Polynom $f(X)$ ist ein Minimalpolynom für ein Element $x$, falls $f(x)=0$ und $f(X)$ ist irreduzibel. Nun hast du also gezeigt: [mm] $f(\zeta_n^{p_1})=0$ [/mm] und da $f$ immer noch das gleiche Polynom ist, ist es auch noch irreduzibel. Also ist $f$ ein Minimalpolynom für [mm] $\zeta_n^{p_1}$. [/mm] Und du kannst den Satz für $f$, [mm] $\zeta_n^{neu}=\zeta_n^{p_1}$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] anwenden.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Di 06.01.2009 | | Autor: | subclasser |
Hallo Peter!
Aufgrund den Feiertagen antworte ich sehr spät. Nichtsdestoweniger herzlichen Dank für deine erhellende Antwort. Jetzt habe ich es verstanden 
Liebe Grüße,
Stephan
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