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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 10.09.2007 | | Autor: | JanJan |
Eine integrierbare Funktion sei auf kompaktem Intervall [a,b] in endlich viele Teilintervalle zerlegbar, so dass f auf den Teilintervallen eingeschränkt stetig oder auch eingeschränkt monoton ist.
Die Aufgabe besteht darin, eine integrierbare Funktion zu finden, die den Mittelwertsatz der Integralrechnung auf einem zu wählenden kompakten Intervall [a,b] nicht erfüllt, oder anders:
Es gibt kein
[mm] \Large [/mm] [mm] \xi \in ]a,b[ [/mm] mit [mm] f(\xi) = \bruch{1}{b-a} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
Auf [a,b] stetige Funktionen würde ich mich erdreisten auszuschließen (legal?), aber wie wäre es mit einer Funktion die auf [a,b] unstetig ist? Ich hatte da an Funktionen mit Definitionslücken gedacht (würd ich aber bezweifeln) und an Funktionen mit Polstellen. Könnte man vllt auch einfach die Intervallgrenzen a & b so wählen, dass gilt: a = a? Stehe grad nen bisl aufm Schlauch, hat jemand nen tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lieben Gruß noch an alle anderen Early Birdler, die sich hier so herumtreiben ;)
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Nimm doch eine stückweise konstante Funktion:
[mm]f(x) = \begin{cases} c_1 & \mbox{für} \ \ 0 \leq x < 1 \\ c_2 & \mbox{für} \ \ 1 \leq x \leq 2 \end{cases}[/mm]
mit [mm]c_1 \neq c_2[/mm].
Dann ist [mm]\int_0^2~f(x)~\mathrm{d}x \ = \ c_1 + c_2[/mm]. Aber [mm]2f(x) \neq c_1 + c_2[/mm] für alle [mm]x[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Di 11.09.2007 | | Autor: | JanJan |
Vielen Dank im Nachhinein nochmal (besser spät als nie ;)
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