Mac Laurinsche Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Mac Laurinschen Reihen der folgenden Funktion, indem Sie die Potenzreihen der beiden Faktoren gliedweise multiplizieren. Im welchen Bereich konvergieren die Reihen? |
Hallo Leute,
die Mac Laurinsche Reihe habe ich bereits gebildet und sie stimmt mit der Lösung überein:
[mm] fn(x)= 1 - 2x + \bruch{3}{2}x^2 - \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{7}{24}x^4 [/mm]
Nur habe ich große Probleme dabei hierfür den Konvergenzbereich zu bilden.
Ich dachte erst, ich könnte die einzelnen Bildungsgesetze der Reihen multiplizieren, das funktionierte nicht.
Die Reihe ist für mich zu kompliziert um aus freien Stücken ein Bildungsgesetz herzuleiten.
Wie geht man denn hierbei richtig vor?
Gruß
Mario
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Hallo,
für die Beantwortung deiner Frage wäre es von Vorteil, wenn du die gesamte Aufgabenstellung postest (insbesondere also die Ausgangsfunktionen!)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Steppenhahn,
danke dir....das hab ich glatt vergessen...
die Ausgangsfunktion lautet:
[mm] f(x)=e^{-2x}cos(x) [/mm]
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Hallo!
> Bestimmen Sie die Mac Laurinschen Reihen der folgenden
> Funktion, indem Sie die Potenzreihen der beiden Faktoren
> gliedweise multiplizieren. Im welchen Bereich konvergieren
> die Reihen?
> Hallo Leute,
>
> die Mac Laurinsche Reihe habe ich bereits gebildet und sie
> stimmt mit der Lösung überein:
>
> [mm]fn(x)= 1 - 2x + \bruch{3}{2}x^2 - \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{7}{24}x^4 [/mm]
>
> Nur habe ich große Probleme dabei hierfür den
> Konvergenzbereich zu bilden.
>
> Ich dachte erst, ich könnte die einzelnen Bildungsgesetze
> der Reihen multiplizieren, das funktionierte nicht.
> Die Reihe ist für mich zu kompliziert um aus freien
> Stücken ein Bildungsgesetz herzuleiten.
>
> Wie geht man denn hierbei richtig vor?
Nun, im Grunde reicht Argumentation mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt (mit diesem kannst du übrigens auch das Produkt der Reihen ausrechnen (was dann wieder eine MacLaurin-Reihe ist)).
Sowohl die Reihendarstellung von [mm] e^{2x} [/mm] als auch die Reihendarstellung von [mm] \cos(x) [/mm] sind als Potenzreihen absolut konvergent auf ganz [mm] \IR. [/mm] Nach dem Cauchy-Produkt ist dann auch das Produkt der Reihen auf ganz [mm] \IR [/mm] absolut konvergent.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Steppenhahn,
hab ich das denn richtig verstanden, dass ich für das Produkt 2er Funktionen,
den kleineren absoluten Konvergenzbereich, der multiplizierten Funktionen, für die Mac Laurinsche Reihe nehmen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> hab ich das denn richtig verstanden, dass ich für das
> Produkt 2er Funktionen,
> den kleineren absoluten Konvergenzbereich, der
> multiplizierten Funktionen, für die Mac Laurinsche Reihe
> nehmen muss?
Nicht umbedingt. Nimm z.B. die Reihe von $1 - x$ im Nullpunkt, und die von [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm] im Nullpunkt. Die erste hat Konvergenzradius [mm] $\infty$, [/mm] die zweite hat Konvergenzradius 1, und das Produkt hat wieder Konvergenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
Das einzige, was du sagen kannst, ist dass der Konvergenzradius mindestens das Minimum der beiden Konvergenzradien der Faktoren ist.
Im Beispiel [mm] $e^{-2x} \cos [/mm] x$ haben beide Faktoren Konvergenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo felixf,
vielen Dank für deinen Tipp, werds in Zukunft so aufschreiben....
Gruß
Mario
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