Mächtigkeit bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:21 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die Anzahl der folgenden Mengen:
[mm] Hom_\IF_{3}(\IF_{3}^4, \IF_{3}^3).
[/mm]
(Wir haben [mm] Hom_K(V,W) [/mm] definiert als die Menge aller K-Vektorraumhomomorphismen von V nach W.) |
| Aufgabe 2 | | Sol(A,0) für ein A [mm] \in \IF_{3}^{3\times4} [/mm] mit rk A = 2 |
| Aufgabe 3 | | {A [mm] \in \IF_{11}^{2\times2} [/mm] | A ist nicht invertierbar} |
| Aufgabe 4 | | {U [mm] \leq \IF_{3}^5 [/mm] | [mm] dim_{\IF_{3}} [/mm] U = 3} |
Hallo zusammen,
ich habe einige Aufgaben, wo ich die Mächtigkeit bestimmter Mengen bestimmen soll. Ich habe jetzt erst mal alle hier eingestellt, würde aber zu Beginn erst mal nur die erste (mit den Homomorphismen) besprechen wollen.
Ich habe mir überlegt, dass [mm] |\IF_{3}^4| [/mm] = 81 und [mm] |\IF_{3}^3| [/mm] = 27 sein müsste. Dann müsste es zunächst mal 27^81 Abbildungen geben. Für einen Vektorraumhomomorphismus muss das Nullelement aber auf das Nullelement abgebildet werden. Also bleiben nur noch 27^80 Abbildungen übrig. Aber wie ich aus den übrigen Abbildungen die herausfiltern soll, die die verbleibenden Eigenschaften eines Vektorraumhomomorphismus erfüllen weiß ich nicht.
Gibt es irgendeine andere Eigenschaft bzw irgendeine anderen Zusammenhang, den man hier ausnutzen muss?
Vielen Dank un schöne Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur a):
[mm] $\text{Hom}_K(V,W)$ [/mm] ist ein $K$-Vektorraum der Dimension [mm] $\text{dim}(V)\text{dim}(W)$.
[/mm]
Für deinen Fall also ein [mm] $\mathbb{F}_3$-Vektorraum [/mm] der Dimension 12. Wie viele verschiedene Vektoren kannst du über diesem Körper aus 12 Basiselementen bilden? Das ist dann deine Antwort.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 So 25.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Wenn es 12 Basiselemente gibt, kann ich jedes mit einem Element aus [mm] \IF_3 [/mm] multiplizieren. [mm] \IF_3 [/mm] hat drei Elemente. Also [mm] 12^3?
[/mm]
Was ich noch nicht ganz verstanden habe: Wie kann es im [mm] \IF_3 [/mm] eine Basis mit 12 Elementen geben? [mm] \IF_3 [/mm] hat doch nur 3 Elemente.
Vielen Dank für die Hilfe und schöne Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, fast. Die Antwort wäre [mm] 3^{12}, [/mm] denn du kannst das erste Basiselement mit 3 möglichen Werten multiplizieren, dann das zweite, das dritte, ... das zwölfte Basiselement mit 3 möglichen Werten multiplizieren. Daher gibt es [mm] 3*3*3*...*3=3^{12} [/mm] Möglichkeiten.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:48 So 25.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo nochmal,
hier mein Ansatz zur Aufgabe 2:
Wenn rk A = 2 ist, dann werde ich beim Lösen des LGS per Gauss eine Nullzeile erhalten. Das heißt doch dann, dass eine der vier Variablen frei gewählt werden kann. Das LGS war aber ohnehin schon unter bestimmt, sodass insgesamt 2 der 4 Variablen frei gewählt werden können. Jede der 2 Variablen kann, da wir im [mm] \IF_3 [/mm] sind, 3 verschiedene Werte annehmen. Also ist die Mächtigkeit der Menge [mm] 3^2? [/mm]
Und zur dritten Aufgabe:
Eine Matrix ist invertierbar, wenn alle ihre Spalten (Zeilen) linear unabhängig sind. Das heißt es gibt hier in [mm] \IF_11^{2\times2} [/mm] doch [mm] 11^2 [/mm] verschiedene Spalten/Zeilen. Jede dieser Spalten/Zeilen hat 11 Vielfache. Also müsste die Mächtigkeit hier [mm] 11^3 [/mm] sein?
Bei der vierten Aufgabe fehlt mir wieder so ein bisschen der Ansatz. Ich müsste ja überlegen, wie viele Möglichkeiten gibt es einen UVR mit drei Basiselementen zu bilden. Das müsste ja auf jeden Fall schon mal der [mm] \IF_3^3 [/mm] sein. Aber da gibt es doch noch mehr, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei der 2.verstehe ich die Schreibweise mit dem Sol nichtl.
Zur 3)
Stimmt fast, aber wenn die erste Spalte (0,0) ist, dann bekommst du mehr als 11 Möglichkeiten für die 2. Spalte, sodass A nicht invertierbar ist, nämlich alle [mm] 11^2 [/mm] Spalten. Also hast du [mm] \underbrace{11^2}_{\text{erste Spalte 0}}+\underbrace{(11^2-1)*11}_{\text{erste Spalte ungleich 0}}=11^3+11^2-11 [/mm] Möglichkeiten.
Bei der 4 muss ich noch schauen, habe leider gerade keine Zeit mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo,
schonmal vielen Dank für deine Antworten!
Wir haben definiert: Sol(A,b) := {x [mm] \in K^{n\times1} [/mm] | Ax = b}, also als die Lösungsmenge des LGS zur erweiternet Koeffizientenmatrix (A|b).
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Di 27.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Ah ok! Ja, ergibt Sinn. ;)
Also gilt ja Sol(A,0)=ker(A). Nun gilt $dim(ker(A))=2$ nach einer der vielen Dimensionsformeln [mm] ($f:V\rightarrow [/mm] W$ linear [mm] \Rightarrow [/mm] dim(V)=dim(ker(f))+rg(f)). Was bedeutet das dann für die Anzahl der Elemente in ker(A)?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 27.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 27.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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