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Mächtigkeit/h.a. Mengen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mi 24.08.2005
Autor: Philly

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also,

Sei E eine unendliche Menge und $A [mm] \subset [/mm] E$ eine h.a. (höchstens abzählbar) Teilmenge. Zeige, dass $E [mm] \sim E\backslash [/mm] A$ (E ist gleichmächtig zu [mm] E\backslash [/mm] A), falls [mm] $E\backslash [/mm] A$ unendlich ist.

Ich versuche jetzt nachzuweisen, dass gilt:

E ist mächtiger als [mm] E\backslash [/mm] A (klar) und [mm] E\backslash [/mm] A ist mächtiger E.

D.h. also es existiert eine Injektive Abbildung von [mm] E\backslash [/mm] A nach E und eine Injektive Abbildung von E nach [mm] E\backslash [/mm] A.

Ich weiß jetzt nicht wie ich den Zweiten Teil Nachweisen soll. Kann mir da jemand helfen.

Als Zusatzinformation kann ich noch folgende Sätze anbieten:

A h.a.  [mm] $\gdw$ [/mm] A ist endlich oder [mm] A$\sim$$\IN$ [/mm]

                      und

A h.a. [mm] $\gdw$ $\exists f:\IN \to [/mm] A$, f surjektiv

Grüße

Philipp

        
Bezug
Mächtigkeit/h.a. Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 24.08.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Phillipp,

Ich würd den Beweis indirekt führen:

1) E ist überabzählbar:

ist nun [mm] $E\backslash [/mm] A$ abzählbar, so gibt es eine surjektive Funktion [mm]f: \IN \rightarrow E\backslash A[/mm], da A ebenfalls abzählbar ist, gibt es aber auch eine surjektive Funktion [mm]g:\IN\rightarrow\ A[/mm].

Nun existiert aber eine Funktion h mit: [mm]h(n)=\begin{cases} f(n/2), & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ g((n+1)/2), & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm],
die offensichtlich eine surrjektive Abbildung von [mm] $\IN\rightarrow [/mm] E$ ist, womit E abzählbar wäre - Widerspruch.

2)E ist abzählbar:

In diesem trivialen Fall ist [mm] $E\backslash [/mm] A$, da nach Vorraussetzung unendlich, ebenfalls abzählbar, da eine Teilmenge niemals mächtiger sein kann als ihre Obermenge. Der vollständigkeit halber, kann man auch hier eine surrjektive Abbildung angeben. Es sei f eine surrjektive Abbildung $f: [mm] \IN\rightarrow [/mm] E$ und h definiere man beispielsweise wie folgt: es sei e ein belibiges Element in [mm] $E\backslash [/mm] A$ dann sei [mm]h(n)=\begin{cases} f(n), & \mbox{wenn } f(n)\in E \backslash A \\ e, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]


Gruß Samuel





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