Mächtigkeit unendlicher Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich sitze hier gerade vor folgender Definition:
"Zwei unendliche Mengen X und Y heißen gleichmächtig oder von gleicher
Kardinalität, wenn es eine bijektive Abbildung von X nach Y (und damit auch eine bijektive Abbildung von Y nach X) gibt."
Nun suche ich da gerade Beispiel für und habe die beiden gefunden:
1) f: X -> Y
X = { x [mm] \in \IN [/mm] | x > 0 } Y = { y x [mm] \in \IN [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 0 }
f(x) = x - 1
damit ist f bijektiv => |X| = |Y|
2) f: X -> Y
X = [mm] \IN [/mm] ; Y = [mm] \IN [/mm] //kann man das so schreiben?
f(x) = x²
damit ist f nicht bijektiv => |X| [mm] \not= [/mm] |Y|
P.S: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Sa 01.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
> Ich sitze hier gerade vor folgender Definition:
> "Zwei unendliche Mengen X und Y heißen gleichmächtig oder
> von gleicher
> Kardinalität, wenn es eine bijektive Abbildung von X nach
> Y (und damit auch eine bijektive Abbildung von Y nach X)
> gibt."
Diese Definition gilt auch für endliche Mengen, genau genommen macht es keinen Sinn von endlichen und unendlichen Mengen zu sprechen, bevor man definiert hat was "gleiche Kardinalität" bedeutet (siehe weiter unten).
> Nun suche ich da gerade Beispiel für und habe die beiden
> gefunden:
> 1) f: X -> Y
> $X = [mm] \{ x \in \IN| x > 0 \}$ [/mm] $Y = [mm] \{ x\in \IN | x \ge 0 \}$
[/mm]
(Beachte dass viele Mathematiker die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählen...)
> f(x) = x - 1
> damit ist f bijektiv => |X| = |Y|
Richtig. Ebenso hat man die Bijektion [mm] $f:\IN\ni n\mapsto 2n\in\{x\in\IN: x\text{ gerade}\}$. [/mm] d.h. es gibt "genauso viele" gerade Zahlen wie natürliche Zahlen (genauer: die Kardinatlitäten sind gleich. Solche Mengen, bei denen es also ein Bijektion auf eine echte Teilmenge gibt, heißen unendlich. Gibt es keine solche Bijektion, heißen sie endlich.
Man kann nun beweisen, dass jede endliche Menge X gleichmächtig zur Menge [mm] $\{1,2,3,...,n\}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist (man sagt dann: "$X$ hat $n$ Elemente"), aber das ist nicht selbstverständlich!
> 2) f: X -> Y
> X = [mm] \IN [/mm] ; Y = [mm] \IN [/mm] //kann man das so schreiben?
Schreibe "Sei [mm] $X=\IN$" [/mm] oder [mm] "$X:=\IN$", [/mm] damit klar wird, dass das eine Definition ist. So wie es da steht ist es nämlich einfach eine "logische Aussage", die entweder wahr oder falsch ist, genau wie $0=0$, $1=2$ oder "heute regnet es", Der Unterschied mag subtil erscheinen, ist aber wesentlich.
> f(x) = x²
> damit ist f nicht bijektiv => |X| [mm]\not=[/mm] |Y|
f ist zwar nicht bijektiv, aber das bedeutet nicht dass die Kardinaitäten unterschiedlich sind. Schau in die Definition, da steht "wenn es eine bijektion gibt, dann sind die kardinalitäten gleich". Um zu zeigen dass die Kardinalitäten verschieden sind, musst du beweisen, dass es keine Bijektion zwischen ihnen geben kann. Aber natürlich haben gleiche Mengen die gleiche Kardinalität, denn die identische Abbildung [mm] $\operatorname{id}_X:X\ni x\mapsto x\in [/mm] X$ ist eine Bijektion.
Gruß, Robert
|
|
|
|
